Номер 423, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

423. Четыре точки в пространстве заданы своими координатами: $A(2; 3; 1)$, $B(0; 1; 3)$, $C(-1; 3; 0)$, $D(3; 1; 2)$. Найдите координаты векторов:

а) $\vec{AB}$, $\vec{CD}$, $\vec{AB}+\vec{CD}$;

б) $\vec{BC}$, $\vec{DA}$, $\vec{AB}+2\cdot\vec{BC}+3\cdot\vec{CD}+4\cdot\vec{DA}$.

Для нахождения координат вектора, заданного начальной точкой $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $M_2(x_2; y_2; z_2)$, используется формула: $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Используем заданные координаты точек: $A(2; 3; 1)$, $B(0; 1; 3)$, $C(-1; 3; 0)$, $D(3; 1; 2)$.

а) Найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{CD}$ и их суммы $\vec{AB}+\vec{CD}$.

1. Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (0 - 2; 1 - 3; 3 - 1) = (-2; -2; 2)$.

2. Координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (3 - (-1); 1 - 3; 2 - 0) = (4; -2; 2)$.

3. Координаты суммы векторов $\vec{AB} + \vec{CD}$ находятся сложением их соответствующих координат:

$\vec{AB} + \vec{CD} = (-2 + 4; -2 + (-2); 2 + 2) = (2; -4; 4)$.

Ответ: $\vec{AB}(-2; -2; 2)$, $\vec{CD}(4; -2; 2)$, $\vec{AB}+\vec{CD}(2; -4; 4)$.

б) Найдем координаты векторов $\vec{BC}$, $\vec{DA}$ и их линейной комбинации $\vec{AB}+2\cdot\vec{BC}+3\cdot\vec{CD}+4\cdot\vec{DA}$.

1. Координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (-1 - 0; 3 - 1; 0 - 3) = (-1; 2; -3)$.

2. Координаты вектора $\vec{DA}$:

$\vec{DA} = (2 - 3; 3 - 1; 1 - 2) = (-1; 2; -1)$.

3. Для нахождения координат искомой линейной комбинации векторов воспользуемся ранее найденными координатами векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ из пункта а).

$\vec{AB} = (-2; -2; 2)$

$2 \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-1; 2; -3) = (-2; 4; -6)$

$3 \cdot \vec{CD} = 3 \cdot (4; -2; 2) = (12; -6; 6)$

$4 \cdot \vec{DA} = 4 \cdot (-1; 2; -1) = (-4; 8; -4)$

Сложим полученные векторы:

$\vec{AB}+2\vec{BC}+3\vec{CD}+4\vec{DA} = (-2 - 2 + 12 - 4; -2 + 4 - 6 + 8; 2 - 6 + 6 - 4) = (4; 4; -2)$.

Ответ: $\vec{BC}(-1; 2; -3)$, $\vec{DA}(-1; 2; -1)$, $\vec{AB}+2\cdot\vec{BC}+3\cdot\vec{CD}+4\cdot\vec{DA}(4; 4; -2)$.