Номер 428, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

428. При каких значениях x и y будут коллинеарны векторы:

а) $\vec{a}(2; 6; x)$ и $\vec{b}(y; 3; -1);$

б) $\vec{c}(1; 0; x)$ и $\vec{d}(y; 3; -1);$

в) $\vec{m}(1; 3; x)$ и $\vec{n}(2; 6; y)?$

а) Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{a}(2; 6; x)$ и $\vec{b}(y; 3; -1)$ условие коллинеарности можно записать в виде пропорции:

$\frac{2}{y} = \frac{6}{3} = \frac{x}{-1}$

Из равенства $\frac{6}{3}$ находим коэффициент пропорциональности $k$: $k = \frac{6}{3} = 2$

Теперь мы можем использовать этот коэффициент, чтобы найти неизвестные значения $x$ и $y$.

Из равенства $\frac{2}{y} = 2$ находим $y$: $2 = 2y \implies y = 1$

Из равенства $\frac{x}{-1} = 2$ находим $x$: $x = 2 \cdot (-1) \implies x = -2$

Ответ: $x = -2, y = 1$.

б) Даны векторы $\vec{c}(1; 0; x)$ и $\vec{d}(y; 3; -1)$. Условие коллинеарности векторов означает, что существует такое число $k$, что $\vec{d} = k\vec{c}$. Распишем это равенство по координатам:

1) $y = k \cdot 1$

2) $3 = k \cdot 0$

3) $-1 = k \cdot x$

Рассмотрим второе уравнение: $3 = k \cdot 0$. Оно утверждает, что $3 = 0$, что является ложным. Следовательно, не существует такого числа $k$, при котором эти векторы были бы коллинеарны. Другими словами, у коллинеарных векторов нулевым координатам одного вектора должны соответствовать нулевые координаты другого (если только один из векторов не является нулевым). У вектора $\vec{c}$ вторая координата равна 0, а у вектора $\vec{d}$ она равна 3. Поэтому эти векторы не могут быть коллинеарными ни при каких значениях $x$ и $y$.

Ответ: Таких значений $x$ и $y$ не существует.

в) Даны векторы $\vec{m}(1; 3; x)$ и $\vec{n}(2; 6; y)$. Запишем для них условие коллинеарности через пропорциональность координат:

$\frac{2}{1} = \frac{6}{3} = \frac{y}{x}$

Проверим первые два отношения:

$\frac{2}{1} = 2$ и $\frac{6}{3} = 2$

Они равны, значит, коэффициент пропорциональности равен 2. То есть, $\vec{n} = 2\vec{m}$. Это соотношение должно выполняться и для третьей пары координат:

$\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$

Это и есть условие, при котором векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ будут коллинеарны. Данное равенство должно выполняться для любой пары $(x, y)$.

Ответ: Векторы коллинеарны при условии, что $y = 2x$ для любого действительного числа $x$.