Номер 432, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

432. Определите, при каком значении $m$ векторы $\vec{a} (1; -1; 2)$, $\vec{b} (0; 3; -1)$ и $\vec{c} (2; m; -1)$ будут компланарными.

Три вектора являются компланарными тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, можно вычислить как определитель матрицы, строки (или столбцы) которой являются координатами этих векторов.

Даны векторы: $\vec{a}(1; -1; 2)$, $\vec{b}(0; 3; -1)$ и $\vec{c}(2; m; -1)$.

Для того чтобы векторы были компланарны, определитель, составленный из их координат, должен быть равен нулю:

$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & m & -1 \end{vmatrix} = 0 $

Вычислим этот определитель. Удобно использовать разложение по первому столбцу, так как в нем есть нулевой элемент:

$ 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ m & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ m & -1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 0 $

Теперь вычислим определители второго порядка:

$ 1 \cdot (3 \cdot (-1) - (-1) \cdot m) - 0 + 2 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = 0 $

$ 1 \cdot (-3 + m) + 2 \cdot (1 - 6) = 0 $

$ -3 + m + 2 \cdot (-5) = 0 $

$ -3 + m - 10 = 0 $

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$ m - 13 = 0 $

$ m = 13 $

Таким образом, векторы будут компланарными при $m=13$.

Ответ: $13$.