Номер 433, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

433. Зная векторы $\vec{a}$ (1; -1; 2), $\vec{b}$ (0; 3; -1) и $\vec{c}$ (2; 0; -1), найдите координаты вектора:

а) $2\vec{a}+\vec{b}$;

б) $\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$;

в) $-\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$;

г) $\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами действий с векторами, заданными в координатной форме. Если даны векторы $\vec{v_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2; z_2)$, а также скаляр $k$, то:

• Сложение векторов: $\vec{v_1} + \vec{v_2} = (x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2)$
• Вычитание векторов: $\vec{v_1} - \vec{v_2} = (x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2)$
• Умножение вектора на скаляр: $k\vec{v_1} = (k x_1; k y_1; k z_1)$

Исходные данные: $\vec{a}(1; -1; 2)$, $\vec{b}(0; 3; -1)$, $\vec{c}(2; 0; -1)$.

а) $2\vec{a}+\vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}$ на 2:

$2\vec{a} = 2 \cdot (1; -1; 2) = (2 \cdot 1; 2 \cdot (-1); 2 \cdot 2) = (2; -2; 4)$.

Теперь сложим координаты полученного вектора $2\vec{a}$ и вектора $\vec{b}$:

$2\vec{a} + \vec{b} = (2; -2; 4) + (0; 3; -1) = (2+0; -2+3; 4+(-1)) = (2; 1; 3)$.

Ответ: $(2; 1; 3)$.

б) $\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$

Найдем координаты вектора $3\vec{b}$:

$3\vec{b} = 3 \cdot (0; 3; -1) = (3 \cdot 0; 3 \cdot 3; 3 \cdot (-1)) = (0; 9; -3)$.

Теперь выполним сложение и вычитание векторов $\vec{a}$, $3\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c} = (1; -1; 2) + (0; 9; -3) - (2; 0; -1) = (1+0-2; -1+9-0; 2+(-3)-(-1)) = (-1; 8; 0)$.

Ответ: $(-1; 8; 0)$.

в) $-\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$

Найдем координаты векторов $-\vec{a}$, $-2\vec{b}$ и $3\vec{c}$:

$-\vec{a} = -1 \cdot (1; -1; 2) = (-1; 1; -2)$.

$-2\vec{b} = -2 \cdot (0; 3; -1) = (0; -6; 2)$.

$3\vec{c} = 3 \cdot (2; 0; -1) = (6; 0; -3)$.

Теперь сложим полученные векторы:

$-\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c} = (-1; 1; -2) + (0; -6; 2) + (6; 0; -3) = (-1+0+6; 1-6+0; -2+2-3) = (5; -5; -3)$.

Ответ: $(5; -5; -3)$.

г) $\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}$

Найдем координаты вектора $-2\vec{c}$:

$-2\vec{c} = -2 \cdot (2; 0; -1) = (-4; 0; 2)$.

Теперь выполним сложение и вычитание векторов:

$\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c} = (1; -1; 2) + (0; 3; -1) - (2; 0; -1) \cdot 2 = (1; -1; 2) + (0; 3; -1) - (4; 0; -2) = (1+0-4; -1+3-0; 2-1-(-2)) = (-3; 2; 3)$.

Ответ: $(-3; 2; 3)$.