Номер 429, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

429. Определите, лежат ли на одной прямой точки:

а) $A(1; -2; 2)$, $B(4; 1; 2)$, $C(3; 0; 4)$;

б) $M(1; 2; -3)$, $K(3; 3; -1)$, $P(5; 4; 1)$.

а) A(1; –2; 2), B(4; 1; 2), C(3; 0; 4);

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), были коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности координат конца и начала вектора: $\vec{AB} = (4 - 1; 1 - (-2); 2 - 2) = (3; 3; 0)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (3 - 1; 0 - (-2); 4 - 2) = (2; 2; 2)$.

Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, то есть проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$. Для этого сравним отношения их соответствующих координат: $\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{2}{3}$ $\frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{2}{3}$ $\frac{z_{AC}}{z_{AB}} = \frac{2}{0}$

Так как деление на ноль невозможно, а координата $z_{AC}$ не равна нулю, то векторы не могут быть коллинеарными. Координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, и точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: точки A, B и C не лежат на одной прямой.

б) M(1; 2; –3), K(3; 3; –1), P(5; 4; 1).

Аналогично пункту а), найдем координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$ и проверим их на коллинеарность.

Координаты вектора $\vec{MK}$: $\vec{MK} = (3 - 1; 3 - 2; -1 - (-3)) = (2; 1; 2)$.

Координаты вектора $\vec{MP}$: $\vec{MP} = (5 - 1; 4 - 2; 1 - (-3)) = (4; 2; 4)$.

Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$, сравнив отношения их соответствующих координат: $\frac{x_{MP}}{x_{MK}} = \frac{4}{2} = 2$ $\frac{y_{MP}}{y_{MK}} = \frac{2}{1} = 2$ $\frac{z_{MP}}{z_{MK}} = \frac{4}{2} = 2$

Так как отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (2), то координаты векторов пропорциональны. Это означает, что векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны (причем $\vec{MP} = 2\vec{MK}$). Поскольку эти векторы имеют общее начало в точке M, точки M, K и P лежат на одной прямой.

Ответ: точки M, K и P лежат на одной прямой.