Номер 427, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

427. Четыре вершины призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ расположены в точках $A(2; 0; 1)$, $B(0; 1; 2)$, $A_1(4; 3; 6)$, $C_1(3; 2; -3)$. Найдите координаты точек $C$ и $B_1$.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Это означает, что векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ равны. Этот вектор является вектором параллельного переноса, который переводит основание $ABC$ в основание $A_1B_1C_1$.

Сначала найдем координаты этого вектора, используя известные координаты точек $A(2; 0; 1)$ и $A_1(4; 3; 6)$.

Координаты вектора $\vec{AA_1}$ равны разности координат его конца и начала:

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4 - 2; 3 - 0; 6 - 1) = (2; 3; 5)$.

Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (2; 3; 5)$.

Координаты точки C

Мы знаем, что $\vec{CC_1} = (2; 3; 5)$. Пусть координаты точки $C$ равны $(x_C; y_C; z_C)$. Координаты точки $C_1$ даны: $(3; 2; -3)$.

По определению вектора: $\vec{CC_1} = (x_{C_1} - x_C; y_{C_1} - y_C; z_{C_1} - z_C)$.

Приравниваем соответствующие координаты:

$x_{C_1} - x_C = 2 \implies 3 - x_C = 2 \implies x_C = 3 - 2 = 1$

$y_{C_1} - y_C = 3 \implies 2 - y_C = 3 \implies y_C = 2 - 3 = -1$

$z_{C_1} - z_C = 5 \implies -3 - z_C = 5 \implies z_C = -3 - 5 = -8$

Таким образом, координаты точки $C$ равны $(1; -1; -8)$.

Ответ: $C(1; -1; -8)$.

Координаты точки B₁

Мы знаем, что $\vec{BB_1} = (2; 3; 5)$. Пусть координаты точки $B_1$ равны $(x_{B_1}; y_{B_1}; z_{B_1})$. Координаты точки $B$ даны: $(0; 1; 2)$.

Точка $B_1$ является результатом смещения точки $B$ на вектор $\vec{BB_1}$. Её координаты равны сумме координат точки $B$ и вектора $\vec{BB_1}$.

$x_{B_1} = x_B + 2 = 0 + 2 = 2$

$y_{B_1} = y_B + 3 = 1 + 3 = 4$

$z_{B_1} = z_B + 5 = 2 + 5 = 7$

Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(2; 4; 7)$.

Ответ: $B_1(2; 4; 7)$.