Номер 424, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

424. Четыре точки в пространстве заданы своими координатами: A(-2; 1; -1), B(2; 0; -3), C(1; -3; 0), D(2; 3; -1). Найдите координаты векторов:

а) $\vec{AB}$, $\vec{CD}$; $\vec{AB} - \vec{CD}$;

б) $\vec{BC}$, $\vec{DA}$, $2 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{BC} + 2 \cdot \vec{CD} + 3 \cdot \vec{DA}$.

Даны координаты четырех точек: A(-2; 1; -1), B(2; 0; -3), C(1; -3; 0), D(2; 3; -1).

Основная формула для нахождения координат вектора $\vec{MN}$ с началом в точке M($x_1$; $y_1$; $z_1$) и концом в точке N($x_2$; $y_2$; $z_2$) выглядит так:

$\vec{MN} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

а)

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (2 - (-2); 0 - 1; -3 - (-1)) = (2 + 2; -1; -3 + 1) = (4; -1; -2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (2 - 1; 3 - (-3); -1 - 0) = (1; 3 + 3; -1) = (1; 6; -1)$.

3. Найдем координаты вектора $\vec{AB} - \vec{CD}$ путем вычитания соответствующих координат:

$\vec{AB} - \vec{CD} = (4 - 1; -1 - 6; -2 - (-1)) = (3; -7; -2 + 1) = (3; -7; -1)$.

Ответ: $\vec{AB} = (4; -1; -2)$; $\vec{CD} = (1; 6; -1)$; $\vec{AB} - \vec{CD} = (3; -7; -1)$.

б)

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (1 - 2; -3 - 0; 0 - (-3)) = (-1; -3; 3)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{DA}$:

$\vec{DA} = (-2 - 2; 1 - 3; -1 - (-1)) = (-4; -2; 0)$.

3. Найдем координаты вектора $2 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{BC} + 2 \cdot \vec{CD} + 3 \cdot \vec{DA}$.

Для этого сначала умножим каждый вектор на соответствующий скаляр, а затем сложим полученные векторы. Используем уже вычисленные координаты векторов: $\vec{AB} = (4; -1; -2)$, $\vec{BC} = (-1; -3; 3)$, $\vec{CD} = (1; 6; -1)$, $\vec{DA} = (-4; -2; 0)$.

$2 \cdot \vec{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-1); 2 \cdot (-2)) = (8; -2; -4)$

$3 \cdot \vec{BC} = (3 \cdot (-1); 3 \cdot (-3); 3 \cdot 3) = (-3; -9; 9)$

$2 \cdot \vec{CD} = (2 \cdot 1; 2 \cdot 6; 2 \cdot (-1)) = (2; 12; -2)$

$3 \cdot \vec{DA} = (3 \cdot (-4); 3 \cdot (-2); 3 \cdot 0) = (-12; -6; 0)$

Теперь сложим координаты полученных векторов:

$2 \vec{AB} + 3 \vec{BC} + 2 \vec{CD} + 3 \vec{DA} = (8 - 3 + 2 - 12; -2 - 9 + 12 - 6; -4 + 9 - 2 + 0) = (-5; -5; 3)$.

Ответ: $\vec{BC} = (-1; -3; 3)$; $\vec{DA} = (-4; -2; 0)$; $2 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{BC} + 2 \cdot \vec{CD} + 3 \cdot \vec{DA} = (-5; -5; 3)$.