Номер 422, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

422. Три точки в пространстве, заданные своими координатами $M(2; -3; -1)$, $P(0; 1; 3)$, $K(4; 3; -3)$, являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты его четвёртой вершины.

Поскольку в условии задачи не указан порядок следования вершин, существует три возможных варианта расположения четвертой вершины параллелограмма. Обозначим искомую вершину как $Q(x; y; z)$. Решение можно найти, используя свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают.

Случай 1: Вершины M и K являются противолежащими

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки $MK$ и $PQ$. Найдем координаты их середин.

Координаты середины $MK$: $(\frac{2+4}{2}; \frac{-3+3}{2}; \frac{-1+(-3)}{2}) = (3; 0; -2)$.

Координаты середины $PQ$: $(\frac{0+x}{2}; \frac{1+y}{2}; \frac{3+z}{2})$.

Приравнивая координаты середин, получаем систему уравнений для координат точки $Q$:

$\frac{x}{2} = 3 \Rightarrow x = 6$

$\frac{1+y}{2} = 0 \Rightarrow 1+y = 0 \Rightarrow y = -1$

$\frac{3+z}{2} = -2 \Rightarrow 3+z = -4 \Rightarrow z = -7$

Таким образом, координаты четвертой вершины: $(6; -1; -7)$.

Ответ: $(6; -1; -7)$

Случай 2: Вершины M и P являются противолежащими

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки $MP$ и $KQ$.

Координаты середины $MP$: $(\frac{2+0}{2}; \frac{-3+1}{2}; \frac{-1+3}{2}) = (1; -1; 1)$.

Координаты середины $KQ$: $(\frac{4+x}{2}; \frac{3+y}{2}; \frac{-3+z}{2})$.

Приравнивая координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{4+x}{2} = 1 \Rightarrow 4+x = 2 \Rightarrow x = -2$

$\frac{3+y}{2} = -1 \Rightarrow 3+y = -2 \Rightarrow y = -5$

$\frac{-3+z}{2} = 1 \Rightarrow -3+z = 2 \Rightarrow z = 5$

Таким образом, координаты четвертой вершины: $(-2; -5; 5)$.

Ответ: $(-2; -5; 5)$

Случай 3: Вершины P и K являются противолежащими

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки $PK$ и $MQ$.

Координаты середины $PK$: $(\frac{0+4}{2}; \frac{1+3}{2}; \frac{3+(-3)}{2}) = (2; 2; 0)$.

Координаты середины $MQ$: $(\frac{2+x}{2}; \frac{-3+y}{2}; \frac{-1+z}{2})$.

Приравнивая координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{2+x}{2} = 2 \Rightarrow 2+x = 4 \Rightarrow x = 2$

$\frac{-3+y}{2} = 2 \Rightarrow -3+y = 4 \Rightarrow y = 7$

$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$

Таким образом, координаты четвертой вершины: $(2; 7; 1)$.

Ответ: $(2; 7; 1)$