Номер 435, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

435. Все медианы треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ проходят через точку $K$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ параллельны одной плоскости.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную систему координат с началом в точке O.

Пусть $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ — радиус-векторы вершин треугольника $A_1B_1C_1$, а $\vec{a_2}, \vec{b_2}, \vec{c_2}$ — радиус-векторы вершин треугольника $A_2B_2C_2$.

Точка пересечения медиан треугольника (его центроид) имеет радиус-вектор, равный среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

По условию, все медианы треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ проходят через одну и ту же точку K. Это означает, что точка K является центроидом для обоих треугольников. Следовательно, радиус-вектор точки K, обозначим его $\vec{k}$, можно выразить двумя способами:

Для треугольника $A_1B_1C_1$:$ \vec{k} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3} $

Для треугольника $A_2B_2C_2$:$ \vec{k} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3} $

Поскольку оба выражения равны одному и тому же вектору $\vec{k}$, мы можем их приравнять:

$ \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}}{3} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2}}{3} $

Умножим обе части уравнения на 3:

$ \vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1} = \vec{a_2} + \vec{b_2} + \vec{c_2} $

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы получить векторы, соответствующие прямым $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$. Направляющий вектор прямой $A_1A_2$ — это вектор $\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1}$. Аналогично, $\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1}$ и $\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1}$.

Перенесем все члены нашего уравнения в правую часть:

$ \vec{0} = (\vec{a_2} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1}) $

Таким образом, мы получили, что сумма векторов, направляющих прямые $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$, равна нулевому вектору:

$ \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0} $

Это равенство означает, что три вектора $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ являются компланарными. То есть, существует плоскость, которой все три вектора параллельны. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Поскольку направляющие векторы прямых $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ параллельны плоскости $\alpha$, то и сами прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ параллельны этой плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.