Номер 2, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Какие свойства имеет скалярное умножение векторов?

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число). Оно обладает следующими основными свойствами для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого скалярного множителя $k$:

1. Коммутативность (переместительное свойство)
Скалярное произведение не меняется от перестановки векторов-сомножителей. Это означает, что порядок векторов не имеет значения.
Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

2. Дистрибутивность (распределительное свойство)
Скалярное произведение вектора на сумму двух других векторов равно сумме скалярных произведений первого вектора на каждый из слагаемых векторов.
Формула: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

3. Сочетательность с умножением на скаляр
Скалярный (числовой) множитель можно выносить за знак скалярного произведения. Неважно, на какой из векторов был умножен скаляр до операции скалярного произведения.
Формула: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$

4. Скалярный квадрат вектора
Скалярное произведение вектора на самого себя (называемое скалярным квадратом) равно квадрату его длины (модуля). Это значение всегда неотрицательно.
Формула: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0$
Равенство $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$ достигается тогда и только тогда, когда вектор является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$).

5. Условие ортогональности ненулевых векторов
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны), то есть угол между ними составляет $90^\circ$.
Если $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$, то: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$.
Это свойство следует из геометрического определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. Если произведение равно нулю, то $\cos\theta=0$.

Ответ: Основные свойства скалярного умножения векторов: коммутативность ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), дистрибутивность относительно сложения векторов ($(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$), сочетательность с умножением на скаляр ($(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$), скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины и всегда неотрицателен ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0$), и условие ортогональности ненулевых векторов (скалярное произведение равно нулю, если и только если векторы перпендикулярны).