Номер 9, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Как найти расстояние от точки с известными координатами до плоскости, заданной своим уравнением?

Чтобы найти расстояние от точки с известными координатами до плоскости, заданной своим уравнением, используется специальная формула, которая выводится из геометрических соображений (проекция вектора на нормаль к плоскости).

Пусть нам дана точка $M_0$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и плоскость $\pi$, заданная общим уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

В этом уравнении коэффициенты $A, B, C$ являются координатами нормального вектора $\vec{n}$ к плоскости, то есть $\vec{n} = (A, B, C)$. Этот вектор перпендикулярен плоскости. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до плоскости $\pi$ вычисляется по следующей формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Формула состоит из двух частей. В числителе, $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|$, находится абсолютное значение (модуль) выражения, которое получается, если в левую часть общего уравнения плоскости подставить координаты точки $(x_0, y_0, z_0)$. Модуль используется, так как расстояние не может быть отрицательной величиной. В знаменателе, $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$, вычисляется длина (модуль) нормального вектора $\vec{n} = (A, B, C)$.

Таким образом, алгоритм нахождения расстояния сводится к следующим шагам:

1. Убедиться, что уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, и определить коэффициенты $A, B, C, D$.

2. Подставить координаты точки $(x_0, y_0, z_0)$ и коэффициенты в приведенную выше формулу.

3. Вычислить полученное значение.

Ответ: Расстояние $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, находится по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.