Номер 440, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

440. Есть векторы $\vec{a} (4; -1; -2)$, $\vec{b} (0; 3; -1)$ и $\vec{c} (3; 0; -1)$. Сравните значения:

а) $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ и $|\vec{a}+\vec{b}|;

б) $|\vec{a}| - |\vec{b}|$ и $|\vec{a}-\vec{b}|;

в) $|\vec{a}+\vec{b}|$ и $2|\vec{c}|;

г) $|\vec{c}+\vec{b}| + |\vec{c}-\vec{b}|$ и $|\vec{c}| + |\vec{b}|.

Для решения задачи сначала найдем модули (длины) заданных векторов $\vec{a}(4; -1; -2)$, $\vec{b}(0; 3; -1)$ и $\vec{c}(3; 0; -1)$.

Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10}$

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь сравним значения в каждом пункте.

а) Сравним значения $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ и $|\vec{a} + \vec{b}|$.

Первое значение: $|\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{21} + \sqrt{10}$.

Для второго значения сначала найдем вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (4+0; -1+3; -2+(-1)) = (4; 2; -3)$.

Теперь найдем его модуль: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.

Сравним $\sqrt{21} + \sqrt{10}$ и $\sqrt{29}$. Так как оба значения положительны, можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{21} + \sqrt{10})^2 = 21 + 2\sqrt{21 \cdot 10} + 10 = 31 + 2\sqrt{210}$.

$(\sqrt{29})^2 = 29$.

Так как $31 + 2\sqrt{210} > 29$, то $\sqrt{21} + \sqrt{10} > \sqrt{29}$.

Ответ: $|\vec{a}| + |\vec{b}| > |\vec{a} + \vec{b}|$.

б) Сравним значения $|\vec{a}| - |\vec{b}|$ и $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Первое значение: $|\vec{a}| - |\vec{b}| = \sqrt{21} - \sqrt{10}$.

Для второго значения найдем вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (4-0; -1-3; -2-(-1)) = (4; -4; -1)$.

Теперь найдем его модуль: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 16 + 1} = \sqrt{33}$.

Сравним $\sqrt{21} - \sqrt{10}$ и $\sqrt{33}$.

Так как $\sqrt{21} < \sqrt{33}$ и $\sqrt{10}$ — положительное число, то $\sqrt{21} - \sqrt{10} < \sqrt{33}$.

Ответ: $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} - \vec{b}|$.

в) Сравним значения $|\vec{a} + \vec{b}|$ и $2|\vec{c}|$.

Из пункта а) известно, что $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{29}$.

Найдем второе значение: $2|\vec{c}| = 2\sqrt{10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.

Сравним $\sqrt{29}$ и $\sqrt{40}$. Так как $29 < 40$, то $\sqrt{29} < \sqrt{40}$.

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| < 2|\vec{c}|$.

г) Сравним значения $|\vec{c} + \vec{b}| + |\vec{c} - \vec{b}|$ и $|\vec{c}| + |\vec{b}|$.

Найдем векторы $\vec{c} + \vec{b}$ и $\vec{c} - \vec{b}$ и их модули.

$\vec{c} + \vec{b} = (3+0; 0+3; -1+(-1)) = (3; 3; -2)$.

$|\vec{c} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$.

$\vec{c} - \vec{b} = (3-0; 0-3; -1-(-1)) = (3; -3; 0)$.

$|\vec{c} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18}$.

Таким образом, первое значение равно: $|\vec{c} + \vec{b}| + |\vec{c} - \vec{b}| = \sqrt{22} + \sqrt{18}$.

Второе значение равно: $|\vec{c}| + |\vec{b}| = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = \sqrt{40}$.

Сравним $\sqrt{22} + \sqrt{18}$ и $\sqrt{40}$. Так как оба значения положительны, сравним их квадраты:

$(\sqrt{22} + \sqrt{18})^2 = 22 + 2\sqrt{22 \cdot 18} + 18 = 40 + 2\sqrt{396}$.

$(\sqrt{40})^2 = 40$.

Поскольку $40 + 2\sqrt{396} > 40$, то и $\sqrt{22} + \sqrt{18} > \sqrt{40}$.

Ответ: $|\vec{c} + \vec{b}| + |\vec{c} - \vec{b}| > |\vec{c}| + |\vec{b}|$.