Номер 447, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

447. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$, учитывая, что:

a) $A(-2; 3; 4)$, $B(-1; 4; 2)$, $C(-3; 6; 2)$, $D(-3; 7; 1);$

б) $A(-1; 5; 8)$, $B(-2; 6; 8)$, $C(-11; 7; -5)$, $D(-9; 7; -7);$

в) $A(0; 1; 2)$, $B(2; 0; 1)$, $C(-4; -2; 0)$, $D(0; -4; -2);$

г) $A(15; -8; 7)$, $B(15; -7; 6)$, $C(12; -7; -11)$, $D(10; -9; -13).$

а)

Угол $\phi$ между прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Найдем направляющие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности координат его конца (точки B) и начала (точки A):$\vec{AB} = (-1 - (-2); 4 - 3; 2 - 4) = (1; 1; -2)$.

Координаты вектора $\vec{CD}$ равны разности координат его конца (точки D) и начала (точки C):$\vec{CD} = (-3 - (-3); 7 - 6; 1 - 2) = (0; 1; -1)$.

Косинус угла $\phi$ между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:$\cos \phi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 0 + 1 + 2 = 3$.

Найдем длины (модули) векторов:$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.$|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу:$\cos \phi = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\phi$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30°$.$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°$.

Ответ: $30°$.

б)

Найдем направляющие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ для прямых.

Координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (-2 - (-1); 6 - 5; 8 - 8) = (-1; 1; 0)$.

Координаты вектора $\vec{CD}$:$\vec{CD} = (-9 - (-11); 7 - 7; -7 - (-5)) = (2; 0; -2)$.

Угол $\phi$ между прямыми является острым углом, поэтому для его нахождения используем формулу:$\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = -2 + 0 + 0 = -2$.

Найдем длины векторов:$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.$|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу для косинуса угла:$\cos \phi = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.

Угол $\phi$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60°$.$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$.

Ответ: $60°$.

в)

Найдем направляющие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (2 - 0; 0 - 1; 1 - 2) = (2; -1; -1)$.

Координаты вектора $\vec{CD}$:$\vec{CD} = (0 - (-4); -4 - (-2); -2 - 0) = (4; -2; -2)$.

Сравним координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Заметим, что $\vec{CD} = 2 \cdot \vec{AB}$, так как $(4; -2; -2) = 2 \cdot (2; -1; -1)$. Поскольку один вектор является произведением другого на число (скаляр), векторы коллинеарны. Это означает, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Угол между параллельными прямыми равен $0°$.

Проверим это с помощью формулы:$\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$.$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) = 8 + 2 + 2 = 12$.$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.$|\vec{CD}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.$\cos \phi = \frac{|12|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.$\phi = \arccos(1) = 0°$.

Ответ: $0°$.

г)

Найдем направляющие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = (15 - 15; -7 - (-8); 6 - 7) = (0; 1; -1)$.

Координаты вектора $\vec{CD}$:$\vec{CD} = (10 - 12; -9 - (-7); -13 - (-11)) = (-2; -2; -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) = 0 - 2 + 2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ также перпендикулярны.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90°$.

Проверим с помощью полной формулы:$\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|0|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = 0$.$\phi = \arccos(0) = 90°$.

Ответ: $90°$.