Номер 445, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

445. Определите, при каких значениях $a$ треугольник $ABC$ является равнобедренным, учитывая, что:

а) $A(3; 2; -1)$, $B(1; 0; 0)$, $C(a; 0; 1)$;

б) $A(2; 1; a)$, $B(3; a; 5)$, $C(-1; a; 3)$.

а)

Для того чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным, необходимо, чтобы длины хотя бы двух его сторон были равны. Найдем квадраты длин сторон треугольника по координатам его вершин $A(3; 2; -1)$, $B(1; 0; 0)$ и $C(a; 0; 1)$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим квадраты длин сторон:

$AB^2 = (1-3)^2 + (0-2)^2 + (0-(-1))^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$.

$BC^2 = (a-1)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2 = (a-1)^2 + 1$.

$AC^2 = (a-3)^2 + (0-2)^2 + (1-(-1))^2 = (a-3)^2 + (-2)^2 + 2^2 = (a-3)^2 + 8$.

Рассмотрим три возможных случая, при которых треугольник будет равнобедренным:

1. Равенство сторон $AB$ и $BC$, то есть $AB^2 = BC^2$:

$9 = (a-1)^2 + 1$

$(a-1)^2 = 8$

$a-1 = \pm\sqrt{8} \Rightarrow a-1 = \pm2\sqrt{2}$

$a = 1 \pm 2\sqrt{2}$.

2. Равенство сторон $BC$ и $AC$, то есть $BC^2 = AC^2$:

$(a-1)^2 + 1 = (a-3)^2 + 8$

$a^2 - 2a + 1 + 1 = a^2 - 6a + 9 + 8$

$-2a + 2 = -6a + 17$

$4a = 15$

$a = \frac{15}{4}$.

3. Равенство сторон $AB$ и $AC$, то есть $AB^2 = AC^2$:

$9 = (a-3)^2 + 8$

$(a-3)^2 = 1$

$a-3 = \pm1$

Отсюда $a = 3 + 1 = 4$ или $a = 3 - 1 = 2$.

При найденных значениях $a$ точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, так как векторы $\vec{AB}=(-2; -2; 1)$ и $\vec{AC}=(a-3; -2; 2)$ не являются коллинеарными ни при каком значении $a$. Таким образом, все найденные значения являются решениями.

Ответ: $a \in \{1 - 2\sqrt{2}; 2; \frac{15}{4}; 1 + 2\sqrt{2}; 4\}$.

б)

Найдем квадраты длин сторон треугольника по координатам его вершин $A(2; 1; a)$, $B(3; a; 5)$, $C(-1; a; 3)$.

$AB^2 = (3-2)^2 + (a-1)^2 + (5-a)^2 = 1 + (a^2 - 2a + 1) + (25 - 10a + a^2) = 2a^2 - 12a + 27$.

$BC^2 = (-1-3)^2 + (a-a)^2 + (3-5)^2 = (-4)^2 + 0^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.

$AC^2 = (-1-2)^2 + (a-1)^2 + (3-a)^2 = (-3)^2 + (a^2 - 2a + 1) + (9 - 6a + a^2) = 2a^2 - 8a + 19$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Равенство сторон $AB$ и $BC$, то есть $AB^2 = BC^2$:

$2a^2 - 12a + 27 = 20$

$2a^2 - 12a + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 144 - 56 = 88$.

$a = \frac{12 \pm \sqrt{88}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{22}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{22}}{2}$.

2. Равенство сторон $BC$ и $AC$, то есть $BC^2 = AC^2$:

$20 = 2a^2 - 8a + 19$

$2a^2 - 8a - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 64 + 8 = 72$.

$a = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{4 \pm 3\sqrt{2}}{2}$.

3. Равенство сторон $AB$ и $AC$, то есть $AB^2 = AC^2$:

$2a^2 - 12a + 27 = 2a^2 - 8a + 19$

$-12a + 27 = -8a + 19$

$8 = 4a$

$a = 2$.

Проверка на коллинеарность показывает, что точки не лежат на одной прямой ни при каком $a$, так как вектор $\vec{BC} = (-4; 0; -2)$ не может быть коллинеарен вектору $\vec{AC} = (-3; a-1; 3-a)$. Следовательно, все найденные значения являются решениями.

Ответ: $a \in \{\frac{4 - 3\sqrt{2}}{2}; \frac{6 - \sqrt{22}}{2}; 2; \frac{4 + 3\sqrt{2}}{2}; \frac{6 + \sqrt{22}}{2}\}$.