Номер 449, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

449. В треугольной пирамиде $SABC$ боковые рёбра равны, $\angle ASB = 60^{\circ}$, $\angle ASC = 30^{\circ}$, $\angle BSC = 45^{\circ}$. Найдите угол между векторами:

а) $\vec{SC}$ и $\vec{BA}$;

б) $\vec{AC}$ и $\vec{SB}$;

в) $\vec{BC}$ и $\vec{AS}$.

Для решения задачи введем векторы, исходящие из вершины пирамиды S: $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$.

По условию, боковые рёбра равны, значит, модули этих векторов равны. Обозначим их длину через $L$:$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = L$.

Углы между боковыми рёбрами — это углы между соответствующими векторами:

• $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle ASB = 60^\circ$
• $\angle(\vec{a}, \vec{c}) = \angle ASC = 30^\circ$
• $\angle(\vec{b}, \vec{c}) = \angle BSC = 45^\circ$

Вычислим скалярные произведения этих векторов:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = L \cdot L \cdot \frac{1}{2} = \frac{L^2}{2}$
• $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos(30^\circ) = L \cdot L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L^2\sqrt{3}}{2}$
• $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(45^\circ) = L \cdot L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{L^2\sqrt{2}}{2}$

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле:$\cos\phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) $\overline{SC}$ и $\overline{BA}$

Найдём угол между векторами $\vec{SC}$ и $\vec{BA}$.

Выразим эти векторы через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• $\vec{SC} = \vec{c}$
• $\vec{BA} = \vec{SA} - \vec{SB} = \vec{a} - \vec{b}$

Найдём скалярное произведение $\vec{SC} \cdot \vec{BA}$:

$\vec{SC} \cdot \vec{BA} = \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{b} = \frac{L^2\sqrt{3}}{2} - \frac{L^2\sqrt{2}}{2} = \frac{L^2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2}$.

Найдём модули векторов:

• $|\vec{SC}| = |\vec{c}| = L$
• $|\vec{BA}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = L^2 - 2\left(\frac{L^2}{2}\right) + L^2 = L^2 - L^2 + L^2 = L^2$.
  Следовательно, $|\vec{BA}| = L$. (Треугольник ASB является равносторонним).

Теперь найдём косинус угла $\phi_{a}$ между векторами:

$\cos\phi_{a} = \frac{\frac{L^2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2}}{L \cdot L} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\right)$.

б) $\overline{AC}$ и $\overline{SB}$

Найдём угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{SB}$.

Выразим векторы через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• $\vec{AC} = \vec{SC} - \vec{SA} = \vec{c} - \vec{a}$
• $\vec{SB} = \vec{b}$

Скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{SB} = (\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{L^2\sqrt{2}}{2} - \frac{L^2}{2} = \frac{L^2(\sqrt{2}-1)}{2}$.

Модули векторов:

• $|\vec{SB}| = |\vec{b}| = L$
• $|\vec{AC}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + |\vec{a}|^2 = L^2 - 2\left(\frac{L^2\sqrt{3}}{2}\right) + L^2 = 2L^2 - L^2\sqrt{3} = L^2(2-\sqrt{3})$.
  $|\vec{AC}| = L\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Косинус угла $\phi_{b}$:

$\cos\phi_{b} = \frac{\frac{L^2(\sqrt{2}-1)}{2}}{L\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot L} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)$.

в) $\overline{BC}$ и $\overline{AS}$

Найдём угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AS}$.

Выразим векторы через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• $\vec{BC} = \vec{SC} - \vec{SB} = \vec{c} - \vec{b}$
• $\vec{AS} = -\vec{SA} = -\vec{a}$

Скалярное произведение:

$\vec{BC} \cdot \vec{AS} = (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (-\vec{a}) = -(\vec{c} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{a}) = -\frac{L^2\sqrt{3}}{2} + \frac{L^2}{2} = \frac{L^2(1-\sqrt{3})}{2}$.

Модули векторов:

• $|\vec{AS}| = |-\vec{a}| = L$
• $|\vec{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = L^2 - 2\left(\frac{L^2\sqrt{2}}{2}\right) + L^2 = 2L^2 - L^2\sqrt{2} = L^2(2-\sqrt{2})$.
  $|\vec{BC}| = L\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Косинус угла $\phi_{c}$:

$\cos\phi_{c} = \frac{\frac{L^2(1-\sqrt{3})}{2}}{L\sqrt{2-\sqrt{2}} \cdot L} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)$.