Номер 448, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

448. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ равны соответственно 10, 16 и 21, $\angle BAD = \angle A_1AB = 60^{\circ}$, $\angle DAA_1 = 90^{\circ}$.

Найдите:

а) $\vec{BA} \cdot \vec{C_1D_1}$;

б) $\vec{BC_1} \cdot \vec{AD_1}$;

в) $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1C}$;

г) $\vec{BC_1} \cdot \vec{B_1C}$;

д) $BD$;

е) $A_1B$;

ж) $A_1C$;

з) $AC_1$;

и) $BD_1$;

к) $B_1D$.

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины $A$:$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Из условия задачи известны их длины:$|\vec{a}| = |AB| = 10$$|\vec{b}| = |AD| = 16$$|\vec{c}| = |AA_1| = 21$

И углы между ними:$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle BAD = 60^\circ$$\angle(\vec{a}, \vec{c}) = \angle A_1AB = 60^\circ$$\angle(\vec{b}, \vec{c}) = \angle DAA_1 = 90^\circ$

Вычислим скалярные произведения базисных векторов, которые понадобятся для дальнейших расчетов:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(60^\circ) = 10 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 80$$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| \cdot |\vec{c}| \cos(60^\circ) = 10 \cdot 21 \cdot \frac{1}{2} = 105$$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cos(90^\circ) = 16 \cdot 21 \cdot 0 = 0$

Также вычислим квадраты длин (скалярные квадраты):$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 10^2 = 100$$\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 16^2 = 256$$\vec{c}^2 = |\vec{c}|^2 = 21^2 = 441$

Теперь решим каждую из подзадач.

а)Найдем скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{C_1D_1}$. Вектор $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{C_1D_1} = \vec{B_1A_1} = \vec{BA}$. Следовательно, $\vec{C_1D_1} = -\vec{a}$.$\vec{BA} \cdot \vec{C_1D_1} = (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 100$.
Ответ: $100$

б)Найдем скалярное произведение $\vec{BC_1} \cdot \vec{AD_1}$. Выразим векторы через базис:$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$.$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$.$\vec{BC_1} \cdot \vec{AD_1} = (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{b} + \vec{c})^2 = \vec{b}^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + \vec{c}^2 = 256 + 2(0) + 441 = 697$.
Ответ: $697$

в)Найдем скалярное произведение $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1C}$.$\vec{AC_1}$ и $\vec{A_1C}$ — это диагонали параллелепипеда.$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.$\vec{A_1C} = \vec{AC} - \vec{AA_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1C} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = (\vec{a}+\vec{b})^2 - \vec{c}^2 = \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2 - \vec{c}^2 = 100 + 2(80) + 256 - 441 = 100 + 160 + 256 - 441 = 516 - 441 = 75$.
Ответ: $75$

г)Найдем скалярное произведение $\vec{BC_1} \cdot \vec{B_1C}$.$\vec{BC_1}$ и $\vec{B_1C}$ — это диагонали боковой грани $BCC_1B_1$.$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{b} + \vec{c}$.$\vec{B_1C} = \vec{BC} - \vec{BB_1} = \vec{b} - \vec{c}$.$\vec{BC_1} \cdot \vec{B_1C} = (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{b}^2 - \vec{c}^2 = 256 - 441 = -185$.
Ответ: $-185$

д)Найдем длину $BD$. Это длина диагонали основания $ABCD$.$BD = |\vec{BD}|$.$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.$BD^2 = |\vec{BD}|^2 = (\vec{b} - \vec{a})^2 = \vec{b}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a}^2 = 256 - 2(80) + 100 = 256 - 160 + 100 = 196$.$BD = \sqrt{196} = 14$.
Ответ: $14$

е)Найдем длину $A_1B$. Это длина диагонали боковой грани $ABB_1A_1$.$A_1B = |\vec{A_1B}|$.$\vec{A_1B} = \vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{a} - \vec{c}$.$A_1B^2 = |\vec{A_1B}|^2 = (\vec{a} - \vec{c})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + \vec{c}^2 = 100 - 2(105) + 441 = 100 - 210 + 441 = 331$.$A_1B = \sqrt{331}$.
Ответ: $\sqrt{331}$

ж)Найдем длину $A_1C$.$A_1C = |\vec{A_1C}|$. В подпункте в) мы нашли $\vec{A_1C} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.$A_1C^2 = |\vec{A_1C}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.$A_1C^2 = 100 + 256 + 441 + 2(80) - 2(105) - 2(0) = 797 + 160 - 210 = 747$.$A_1C = \sqrt{747} = \sqrt{9 \cdot 83} = 3\sqrt{83}$.
Ответ: $3\sqrt{83}$

з)Найдем длину $AC_1$.$AC_1 = |\vec{AC_1}|$. В подпункте в) мы нашли $\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.$AC_1^2 = |\vec{AC_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.$AC_1^2 = 100 + 256 + 441 + 2(80) + 2(105) + 2(0) = 797 + 160 + 210 = 1167$.$AC_1 = \sqrt{1167}$.
Ответ: $\sqrt{1167}$

и)Найдем длину $BD_1$.$BD_1 = |\vec{BD_1}|$.$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB} = (\vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.$BD_1^2 = |-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.$BD_1^2 = 100 + 256 + 441 - 2(80) - 2(105) + 2(0) = 797 - 160 - 210 = 427$.$BD_1 = \sqrt{427}$.
Ответ: $\sqrt{427}$

к)Найдем длину $B_1D$.$B_1D = |\vec{B_1D}|$.$\vec{B_1D} = \vec{AD} - \vec{AB_1} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{c}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.$B_1D^2 = |-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.$B_1D^2 = 100 + 256 + 441 - 2(80) + 2(105) - 2(0) = 797 - 160 + 210 = 847$.$B_1D = \sqrt{847} = \sqrt{121 \cdot 7} = 11\sqrt{7}$.
Ответ: $11\sqrt{7}$