Номер 2, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Объясните, как можно находить угол между двумя прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Величина этого угла находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если прямые параллельны, угол между ними равен $0^\circ$. Если прямые перпендикулярны, угол равен $90^\circ$. Способ нахождения угла зависит от того, как заданы прямые (на плоскости или в пространстве) и в какой форме представлены их уравнения.

Нахождение угла между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$ на плоскости, заданные уравнениями вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$.

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox. То есть, $k_1 = \tan(\alpha_1)$ и $k_2 = \tan(\alpha_2)$, где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ – углы наклона прямых.

Угол $\phi$ между прямыми можно найти как разность углов их наклона: $\phi = |\alpha_2 - \alpha_1|$.

Используя формулу тангенса разности, получаем:

$\tan(\phi) = \tan(|\alpha_2 - \alpha_1|) = \left| \frac{\tan(\alpha_2) - \tan(\alpha_1)}{1 + \tan(\alpha_1)\tan(\alpha_2)} \right| = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$

Отсюда искомый угол $\phi$ вычисляется как арктангенс этого значения. Эта формула применима, если ни одна из прямых не является вертикальной (то есть их угловые коэффициенты существуют).

Если прямые параллельны, то $k_1 = k_2$, и угол $\phi = 0^\circ$.

Если прямые перпендикулярны, то $1 + k_1k_2 = 0$, то есть $k_1k_2 = -1$.

Ответ: Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, находится по формуле: $\phi = \arctan\left(\left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|\right)$.

Нахождение угла между прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями

Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ заданы общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$.

Для каждой прямой можно определить её нормальный вектор – вектор, перпендикулярный этой прямой. Для прямой $Ax + By + C = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n} = (A, B)$.

Таким образом, для наших прямых нормальные векторы будут $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$.

Угол между двумя прямыми равен острому углу между их нормальными векторами. Косинус угла $\phi$ между прямыми можно найти через скалярное произведение нормальных векторов.

Косинус угла между векторами находится по формуле: $\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.

Подставляя координаты векторов, получаем:

$\cos(\phi) = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Модуль в числителе используется для того, чтобы получить острый угол ($0^\circ \le \phi \le 90^\circ$).

Условие параллельности прямых: их нормальные векторы коллинеарны, т.е. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$.

Условие перпендикулярности прямых: их нормальные векторы перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Ответ: Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, находится по формуле: $\phi = \arccos\left(\frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\right)$.

Нахождение угла между прямыми в пространстве

В пространстве прямые могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися. Угол определяется для всех этих случаев (для параллельных он равен $0^\circ$). Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из прямых и любой прямой, пересекающей её и параллельной второй прямой.

Вне зависимости от взаимного расположения, угол между двумя прямыми в пространстве определяется как острый угол между их направляющими векторами.

Пусть прямая $l_1$ имеет направляющий вектор $\vec{d_1} = (l_1, m_1, n_1)$, а прямая $l_2$ – направляющий вектор $\vec{d_2} = (l_2, m_2, n_2)$. Эти векторы можно найти из канонических или параметрических уравнений прямых.

Например, для прямой, заданной каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$, направляющий вектор есть $\vec{d} = (l, m, n)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Он вычисляется через скалярное произведение:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$

Условие параллельности прямых: их направляющие векторы коллинеарны, $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.

Условие перпендикулярности прямых: их направляющие векторы перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю: $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$.

Ответ: Угол $\phi$ между двумя прямыми в пространстве с направляющими векторами $\vec{d_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{d_2} = (l_2, m_2, n_2)$ находится по формуле: $\phi = \arccos\left(\frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}\right)$.