Номер 4, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Объясните, как можно находить угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Этот угол, по определению, является острым, то есть его значение находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол считается равным $0^\circ$. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$.

Рассмотрим два основных способа нахождения этого угла в общем случае, когда прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей.

Геометрический способ

Этот способ основан непосредственно на определении угла и сводится к построению и решению прямоугольного треугольника.

Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Алгоритм действий следующий:

1. Находим точку пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$. Обозначим эту точку как $A$.
2. Выбираем на прямой $a$ любую другую точку $B$.
3. Опускаем из точки $B$ перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра (точку на плоскости) как $C$.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Прямая $AC$ является проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$.
5. Искомый угол $\phi$ — это угол между исходной прямой $a$ (представленной отрезком $AB$) и её проекцией $AC$. Таким образом, $\phi = \angle BAC$.
6. Так как $BC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$ ($\angle BCA = 90^\circ$).
7. Для нахождения величины угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ можно использовать тригонометрические функции. Например, если известны длина отрезка $AB$ и длина перпендикуляра $BC$ (расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$), то:
   $\sin \phi = \frac{BC}{AB}$
   Отсюда угол $\phi$ можно найти как $\phi = \arcsin\left(\frac{BC}{AB}\right)$.

Ответ: Для нахождения угла между прямой и плоскостью геометрическим способом необходимо найти угол между самой прямой и её проекцией на эту плоскость, что обычно сводится к нахождению острого угла в построенном для этого прямоугольном треугольнике.

Координатный (векторный) способ

Этот способ применяется, когда прямая и плоскость заданы в декартовой системе координат. Он основан на использовании векторов.

Пусть в пространстве заданы:

• Прямая $a$ своим направляющим вектором $\vec{s} = \{l; m; n\}$.
• Плоскость $\alpha$ своим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали (перпендикулярный) к этой плоскости имеет координаты $\vec{N} = \{A; B; C\}$.

Ключевая идея метода — найти угол между направляющим вектором прямой $\vec{s}$ и вектором нормали к плоскости $\vec{N}$, который мы обозначим $\gamma$.

1. Угол $\gamma$ между векторами $\vec{s}$ и $\vec{N}$ находится по формуле скалярного произведения:
   $\cos \gamma = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{N}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{N}|} = \frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
   (Знак модуля в числителе используется для нахождения острого угла между направлениями векторов).
2. Угол $\phi$ между прямой и плоскостью и угол $\gamma$ между прямой и нормалью к плоскости являются дополнительными друг другу, то есть их сумма равна $90^\circ$:
   $\phi + \gamma = 90^\circ$
3. Из тригонометрии известно, что для таких углов $\sin \phi = \cos \gamma$.
4. Следовательно, для нахождения синуса искомого угла $\phi$ между прямой и плоскостью можно использовать вычисленное значение косинуса угла $\gamma$:
   $\sin \phi = \frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
5. Сам угол $\phi$ вычисляется через арксинус:
   $\phi = \arcsin\left(\frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\right)$

Ответ: Для нахождения угла $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{s}$) и плоскостью (с вектором нормали $\vec{N}$) координатным способом используется формула, связывающая синус искомого угла со скалярным произведением векторов: $\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{N}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{N}|}$.