Номер 5, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Объясните, как можно находить расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Это самое короткое расстояние от точки до любой точки, лежащей на прямой. Существует два основных подхода к нахождению этого расстояния.

1. Геометрический способ

Этот способ основан на геометрическом определении и построении.

1. Из данной точки M, не принадлежащей прямой a, проводится прямая h, которая перпендикулярна прямой a.
2. Находится точка пересечения H этих двух прямых (a и h). Эта точка называется основанием перпендикуляра.
3. Измеряется длина отрезка MH. Эта длина и есть расстояние от точки M до прямой a.

Важно понимать, что перпендикуляр MH — это кратчайший путь от точки до прямой. Любой другой отрезок, соединяющий точку M с другой точкой K на прямой a, называется наклонной и всегда будет длиннее перпендикуляра. Это следует из теоремы Пифагора, так как в прямоугольном треугольнике MHK наклонная MK является гипотенузой, а перпендикуляр MH — катетом.

2. Аналитический (координатный) способ

Этот метод применяется, когда задача рассматривается в декартовой системе координат. Он позволяет точно вычислить расстояние с помощью специальной формулы, не прибегая к построениям.

Пусть нам дана точка с координатами $M_0(x_0, y_0)$ и прямая, заданная общим уравнением $Ax + By + C = 0$.

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой вычисляется по следующей формуле:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Алгоритм вычисления расстояния по формуле:

1. Приведение уравнения прямой к общему виду. Если уравнение прямой дано не в общем виде (например, в виде $y = kx + m$), его необходимо преобразовать. Уравнение $y = kx + m$ преобразуется к виду $kx - y + m = 0$.
2. Определение коэффициентов и координат. Из общего уравнения $Ax + By + C = 0$ определяются коэффициенты $A, B, C$. Также берутся координаты точки $(x_0, y_0)$.
3. Подстановка в формулу. Значения $A, B, C, x_0, y_0$ подставляются в формулу расстояния.
4. Вычисление. Выполняются арифметические действия. Результат и будет искомым расстоянием.

Пример вычисления:

Найдем расстояние от точки $M(3, 5)$ до прямой, заданной уравнением $3x - 4y + 1 = 0$.

Исходные данные:

• Координаты точки: $x_0 = 3$, $y_0 = 5$.
• Уравнение прямой уже в общем виде, поэтому коэффициенты: $A=3$, $B=-4$, $C=1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$$d = \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot 5 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$

Вычисляем числитель и знаменатель:

$$d = \frac{|9 - 20 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

Таким образом, расстояние от точки до прямой равно 2.

Ответ: Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Для его нахождения можно либо построить этот перпендикуляр и измерить его длину (геометрический способ), либо, если известны координаты точки $(x_0, y_0)$ и общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$, воспользоваться формулой $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ (аналитический способ).