Номер 455, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

455. Плоскость проходит через диагональ $BF$ основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельно диагонали $AD_1$. Найдите отношения, в которых эта плоскость разделяет боковые рёбра призмы.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы равна $h$. Расположим вершины нижнего основания $ABCDEF$ в плоскости $Oxy$ ($z=0$) так, чтобы вершины $A$ и $D$ лежали на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A(a, 0, 0)$
• $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C(-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D(-a, 0, 0)$
• $E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются добавлением высоты $h$ к $z$-координате соответствующих вершин нижнего основания. Например, $A_1(a, 0, h)$, $D_1(-a, 0, h)$ и так далее.

Искомая плоскость (назовем ее $\alpha$) проходит через диагональ основания $BF$ и параллельна диагонали призмы $AD_1$.

Найдем векторы, определяющие плоскость $\alpha$:

1. Вектор, лежащий в плоскости, — это вектор $\vec{BF}$: $\vec{BF} = F - B = (a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -a\sqrt{3}, 0)$.
2. Плоскость параллельна диагонали $AD_1$, следовательно, она параллельна вектору $\vec{AD_1}$: $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-a - a, 0 - 0, h - 0) = (-2a, 0, h)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{BF} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -a\sqrt{3} & 0 \\ -2a & 0 & h \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a\sqrt{3} \cdot h - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - (-a\sqrt{3})(-2a)) = (-ah\sqrt{3}, 0, -2a^2\sqrt{3})$.

Для удобства упростим нормальный вектор, разделив его на $-a\sqrt{3}$ (это не изменит ориентацию плоскости):$\vec{n'} = (h, 0, 2a)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $h x + 2a z + D = 0$. Чтобы найти коэффициент $D$, воспользуемся тем, что плоскость проходит через точку $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$:

$h(a/2) + 2a(0) + D = 0 \Rightarrow D = -ah/2$.

Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$:

$hx + 2az - ah/2 = 0$, или $2hx + 4az - ah = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с боковыми рёбрами призмы. Боковое ребро $XX_1$ представляет собой вертикальный отрезок, для которого $x$ и $y$ координаты постоянны и равны координатам точки $X$, а $z$ изменяется от $0$ до $h$.

Подставим $x$-координату вершины нижнего основания в уравнение плоскости и найдем $z$-координату точки пересечения:

$2hx + 4az = ah \Rightarrow 4az = ah - 2hx \Rightarrow z = \frac{ah - 2hx}{4a} = \frac{h(a - 2x)}{4a}$.

Плоскость делит боковое ребро $XX_1$ в отношении $z : (h-z)$, где $z$ — высота точки пересечения над нижним основанием. Если точка пересечения лежит на продолжении ребра, отношение будет отрицательным.

Боковое ребро AA_1

Для ребра $AA_1$ координата $x=a$.

$z_A = \frac{h(a - 2a)}{4a} = \frac{h(-a)}{4a} = -h/4$.

Точка пересечения находится вне отрезка $AA_1$ (ниже основания). Отношение, в котором плоскость делит прямую $AA_1$, равно $z_A : (h - z_A) = (-h/4) : (h - (-h/4)) = (-h/4) : (5h/4) = -1:5$.

Ответ: $-1:5$

Боковое ребро BB_1

Для ребра $BB_1$ координата $x=a/2$.

$z_B = \frac{h(a - 2(a/2))}{4a} = \frac{h(a - a)}{4a} = 0$.

Точка пересечения — сама вершина $B$. Отношение равно $0 : (h-0) = 0:1$.

Ответ: $0:1$

Боковое ребро CC_1

Для ребра $CC_1$ координата $x=-a/2$.

$z_C = \frac{h(a - 2(-a/2))}{4a} = \frac{h(a + a)}{4a} = \frac{2ah}{4a} = h/2$.

Точка пересечения делит ребро пополам. Отношение равно $(h/2) : (h - h/2) = (h/2) : (h/2) = 1:1$.

Ответ: $1:1$

Боковое ребро DD_1

Для ребра $DD_1$ координата $x=-a$.

$z_D = \frac{h(a - 2(-a))}{4a} = \frac{h(a + 2a)}{4a} = \frac{3ah}{4a} = 3h/4$.

Отношение равно $(3h/4) : (h - 3h/4) = (3h/4) : (h/4) = 3:1$.

Ответ: $3:1$

Боковое ребро EE_1

Для ребра $EE_1$ координата $x=-a/2$.

$z_E = \frac{h(a - 2(-a/2))}{4a} = \frac{h(a + a)}{4a} = \frac{2ah}{4a} = h/2$.

Точка пересечения делит ребро пополам. Отношение равно $(h/2) : (h - h/2) = 1:1$.

Ответ: $1:1$

Боковое ребро FF_1

Для ребра $FF_1$ координата $x=a/2$.

$z_F = \frac{h(a - 2(a/2))}{4a} = \frac{h(a - a)}{4a} = 0$.

Точка пересечения — сама вершина $F$. Отношение равно $0 : (h-0) = 0:1$.

Ответ: $0:1$