Номер 457, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

457. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На прямых $BA_1$ и $CB_1$ отмечены точки $M$ и $P$ так, что $\overline{BM} = k \cdot \overline{BA_1}$ и $\overline{CP} = k \cdot \overline{CB_1}$. Докажите, что прямая $MP$ параллельна одной из граней параллелепипеда.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Введем базис, связанный с вершинами параллелепипеда. Пусть точка $B$ будет началом координат, а векторы, исходящие из нее по ребрам, будут базисными:

$\vec{BA} = \vec{a}$

$\vec{BC} = \vec{c}$

$\vec{BB_1} = \vec{b}$

В этом базисе выразим векторы, необходимые для решения задачи.

Вектор диагонали грани $AA_1B_1B$ будет равен сумме векторов, составляющих эту грань:

$\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1} = \vec{BA} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{b}$

Вектор диагонали грани $BB_1C_1C$ найдем как разность радиус-векторов ее конца и начала:

$\vec{CB_1} = \vec{B_1} - \vec{C}$. В нашей системе координат с началом в точке $B$, радиус-вектор точки $B_1$ это $\vec{BB_1} = \vec{b}$, а радиус-вектор точки $C$ это $\vec{BC} = \vec{c}$. Таким образом:

$\vec{CB_1} = \vec{BB_1} - \vec{BC} = \vec{b} - \vec{c}$

Теперь, используя условия из задачи, найдем радиус-векторы точек $M$ и $P$.

Для точки $M$ дано условие $\vec{BM} = k \cdot \vec{BA_1}$. Так как начало координат в точке $B$, то радиус-вектор точки $M$ совпадает с вектором $\vec{BM}$:

$\vec{r_M} = \vec{BM} = k \cdot \vec{BA_1} = k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Для точки $P$ дано условие $\vec{CP} = k \cdot \vec{CB_1}$. Чтобы найти радиус-вектор точки $P$ ($\vec{BP}$), воспользуемся правилом сложения векторов:

$\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP}$

Подставим известные выражения:

$\vec{r_P} = \vec{BP} = \vec{c} + k \cdot \vec{CB_1} = \vec{c} + k(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{c} + k\vec{b} - k\vec{c} = (1-k)\vec{c} + k\vec{b}$

Теперь мы можем найти вектор $\vec{MP}$, который определяет направление прямой $MP$:

$\vec{MP} = \vec{r_P} - \vec{r_M} = ((1-k)\vec{c} + k\vec{b}) - (k\vec{a} + k\vec{b})$

$\vec{MP} = (1-k)\vec{c} + k\vec{b} - k\vec{a} - k\vec{b}$

$\vec{MP} = -k\vec{a} + (1-k)\vec{c}$

Как видно из полученного выражения, вектор $\vec{MP}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{c} = \vec{BC}$ лежат в плоскости грани $ABCD$ и не коллинеарны. Любой вектор, который является их линейной комбинацией, будет параллелен плоскости, заданной этими векторами, то есть плоскости $(ABCD)$.

Таким образом, вектор $\vec{MP}$ параллелен плоскости грани $ABCD$. Следовательно, и прямая $MP$ параллельна грани $ABCD$ параллелепипеда (а также параллельной ей грани $A_1B_1C_1D_1$).

Ответ: Утверждение доказано: прямая $MP$ параллельна грани $ABCD$.