Номер 462, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

462. Для точек A, B, C, D и M пространства истинно равенство $ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0} $. Докажите, что три прямые, проходящие через середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, проходят через точку M.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Основное свойство, которое мы будем использовать, — это формула для радиус-вектора середины отрезка. Если точка $K$ является серединой отрезка $AB$, то для любой точки $O$ в пространстве справедливо равенство: $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. В данной задаче удобно выбрать точку $M$ в качестве начала отсчета (точки $O$).

Прямая, проходящая через середины отрезков AB и CD

Пусть $K_1$ — середина отрезка $AB$, а $L_1$ — середина отрезка $CD$. Выразим векторы $\vec{MK_1}$ и $\vec{ML_1}$ через векторы, исходящие из точки $M$ к вершинам $A, B, C, D$:
По формуле для вектора середины отрезка:
$\vec{MK_1} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB})$
$\vec{ML_1} = \frac{1}{2}(\vec{MC} + \vec{MD})$
Сложим эти два вектора:
$\vec{MK_1} + \vec{ML_1} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB}) + \frac{1}{2}(\vec{MC} + \vec{MD}) = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD})$
Согласно условию задачи, $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$. Подставим это в наше равенство:
$\vec{MK_1} + \vec{ML_1} = \frac{1}{2}(\vec{0}) = \vec{0}$
Из равенства $\vec{MK_1} + \vec{ML_1} = \vec{0}$ следует, что $\vec{MK_1} = -\vec{ML_1}$. Это означает, что векторы $\vec{MK_1}$ и $\vec{ML_1}$ коллинеарны, противоположно направлены и равны по модулю. Так как они исходят из одной и той же точки $M$, точки $K_1$, $M$ и $L_1$ лежат на одной прямой. Более того, точка $M$ является серединой отрезка $K_1L_1$. Следовательно, прямая $K_1L_1$, проходящая через середины отрезков $AB$ и $CD$, проходит через точку $M$.
Ответ: Доказано, что прямая, соединяющая середины отрезков $AB$ и $CD$, проходит через точку $M$.

Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BD

Аналогично, пусть $K_2$ — середина отрезка $AC$, а $L_2$ — середина отрезка $BD$. Выразим векторы $\vec{MK_2}$ и $\vec{ML_2}$:
$\vec{MK_2} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MC})$
$\vec{ML_2} = \frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$
Сложим эти векторы:
$\vec{MK_2} + \vec{ML_2} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MC}) + \frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD}) = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD})$
Используя условие $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$, получаем:
$\vec{MK_2} + \vec{ML_2} = \vec{0}$
Это означает, что $\vec{MK_2} = -\vec{ML_2}$. Точки $K_2$, $M$ и $L_2$ лежат на одной прямой, и $M$ является серединой отрезка $K_2L_2$. Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков $AC$ и $BD$, проходит через точку $M$.
Ответ: Доказано, что прямая, соединяющая середины отрезков $AC$ и $BD$, проходит через точку $M$.

Прямая, проходящая через середины отрезков AD и BC

И, наконец, пусть $K_3$ — середина отрезка $AD$, а $L_3$ — середина отрезка $BC$. Выразим векторы $\vec{MK_3}$ и $\vec{ML_3}$:
$\vec{MK_3} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MD})$
$\vec{ML_3} = \frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MC})$
Сложим эти векторы:
$\vec{MK_3} + \vec{ML_3} = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MD}) + \frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MC}) = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD})$
Используя условие $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$, получаем:
$\vec{MK_3} + \vec{ML_3} = \vec{0}$
Это означает, что $\vec{MK_3} = -\vec{ML_3}$. Точки $K_3$, $M$ и $L_3$ лежат на одной прямой, и $M$ является серединой отрезка $K_3L_3$. Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков $AD$ и $BC$, проходит через точку $M$.
Ответ: Доказано, что прямая, соединяющая середины отрезков $AD$ и $BC$, проходит через точку $M$.