Номер 465, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

465. В пространстве заданы точки A, B, C, D, точки K, L, M, N выбраны так, что $\vec{AK}:\vec{KB}=a$, $\vec{BL}:\vec{LC}=b$, $\vec{CM}:\vec{MD}=c$, $\vec{DN}:\vec{NA}=d$. Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда $abcd = 1$.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть O — произвольное начало отсчета в пространстве, а $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$ — радиус-векторы точек A, B, C, D соответственно.

Из условий задачи найдем радиус-векторы точек K, L, M, N.

1. Точка K делит отрезок AB в отношении $\overline{AK}:\overline{KB}=a$. Это равносильно векторному равенству $\vec{AK} = a \cdot \vec{KB}$. Выразим радиус-вектор точки K, $\vec{r}_K$:$\vec{r}_K - \vec{r}_A = a(\vec{r}_B - \vec{r}_K)$
$\vec{r}_K + a\vec{r}_K = \vec{r}_A + a\vec{r}_B$
$\vec{r}_K = \frac{1}{1+a}\vec{r}_A + \frac{a}{1+a}\vec{r}_B$

2. Точка L делит отрезок BC в отношении $\overline{BL}:\overline{LC}=b$, то есть $\vec{BL} = b \cdot \vec{LC}$.$\vec{r}_L - \vec{r}_B = b(\vec{r}_C - \vec{r}_L)$
$\vec{r}_L(1+b) = \vec{r}_B + b\vec{r}_C$
$\vec{r}_L = \frac{1}{1+b}\vec{r}_B + \frac{b}{1+b}\vec{r}_C$

3. Точка M делит отрезок CD в отношении $\overline{CM}:\overline{MD}=c$, то есть $\vec{CM} = c \cdot \vec{MD}$.$\vec{r}_M - \vec{r}_C = c(\vec{r}_D - \vec{r}_M)$
$\vec{r}_M(1+c) = \vec{r}_C + c\vec{r}_D$
$\vec{r}_M = \frac{1}{1+c}\vec{r}_C + \frac{c}{1+c}\vec{r}_D$

4. Точка N делит отрезок DA в отношении $\overline{DN}:\overline{NA}=d$, то есть $\vec{DN} = d \cdot \vec{NA}$.$\vec{r}_N - \vec{r}_D = d(\vec{r}_A - \vec{r}_N)$
$\vec{r}_N(1+d) = \vec{r}_D + d\vec{r}_A$
$\vec{r}_N = \frac{d}{1+d}\vec{r}_A + \frac{1}{1+d}\vec{r}_D$

Четыре точки K, L, M, N лежат в одной плоскости (компланарны) тогда и только тогда, когда векторы, соединяющие одну из них с тремя другими (например, $\vec{KL}$, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$), компланарны. Условие компланарности трех векторов — равенство нулю их смешанного произведения: $(\vec{KL}, \vec{KM}, \vec{KN}) = 0$.

Для удобства вычислений выберем начало отсчета в точке A. Тогда $\vec{r}_A = \vec{0}$, а радиус-векторы точек B, C, D обозначим как $\vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$. Будем предполагать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, что является общим случаем. Это означает, что векторы $\vec{AB}=\vec{B}$, $\vec{AC}=\vec{C}$ и $\vec{AD}=\vec{D}$ не компланарны и образуют базис в пространстве.

В этой системе координат радиус-векторы точек K, L, M, N принимают вид:$\vec{r}_K = \frac{a}{1+a}\vec{B}$
$\vec{r}_L = \frac{1}{1+b}\vec{B} + \frac{b}{1+b}\vec{C}$
$\vec{r}_M = \frac{1}{1+c}\vec{C} + \frac{c}{1+c}\vec{D}$
$\vec{r}_N = \frac{1}{1+d}\vec{D}$

Теперь найдем векторы $\vec{KL}$, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$:$\vec{KL} = \vec{r}_L - \vec{r}_K = \left(\frac{1}{1+b}\vec{B} + \frac{b}{1+b}\vec{C}\right) - \frac{a}{1+a}\vec{B} = \left(\frac{1}{1+b} - \frac{a}{1+a}\right)\vec{B} + \frac{b}{1+b}\vec{C} + 0\vec{D} = \frac{1-ab}{(1+a)(1+b)}\vec{B} + \frac{b}{1+b}\vec{C}$
$\vec{KM} = \vec{r}_M - \vec{r}_K = \left(\frac{1}{1+c}\vec{C} + \frac{c}{1+c}\vec{D}\right) - \frac{a}{1+a}\vec{B} = -\frac{a}{1+a}\vec{B} + \frac{1}{1+c}\vec{C} + \frac{c}{1+c}\vec{D}$
$\vec{KN} = \vec{r}_N - \vec{r}_K = \frac{1}{1+d}\vec{D} - \frac{a}{1+a}\vec{B} = -\frac{a}{1+a}\vec{B} + 0\vec{C} + \frac{1}{1+d}\vec{D}$

Смешанное произведение этих векторов равно произведению определителя, составленного из их координат в базисе $(\vec{B}, \vec{C}, \vec{D})$, на смешанное произведение базисных векторов $(\vec{B}, \vec{C}, \vec{D})$.$(\vec{KL}, \vec{KM}, \vec{KN}) = \begin{vmatrix} \frac{1-ab}{(1+a)(1+b)} & \frac{b}{1+b} & 0 \\ -\frac{a}{1+a} & \frac{1}{1+c} & \frac{c}{1+c} \\ -\frac{a}{1+a} & 0 & \frac{1}{1+d} \end{vmatrix} (\vec{B}, \vec{C}, \vec{D})$

Поскольку точки A, B, C, D не компланарны, объем тетраэдра, построенного на векторах $\vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$, не равен нулю, то есть $(\vec{B}, \vec{C}, \vec{D}) \neq 0$. Следовательно, условие компланарности точек K, L, M, N сводится к равенству нулю определителя. Вычислим его:$\det = \frac{1-ab}{(1+a)(1+b)} \left( \frac{1}{1+c} \cdot \frac{1}{1+d} \right) - \frac{b}{1+b} \left( \left(-\frac{a}{1+a}\right)\frac{1}{1+d} - \left(-\frac{a}{1+a}\right)\frac{c}{1+c} \right)$
$= \frac{1-ab}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} - \frac{b}{1+b} \left( \frac{-a(1+c) + ac(1+d)}{(1+a)(1+c)(1+d)} \right)$
$= \frac{1-ab}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} - \frac{b(-a-ac+ac+acd)}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$
$= \frac{1-ab - b(-a+acd)}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$
$= \frac{1-ab+ab-abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$
$= \frac{1-abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$

Так как точки K, L, M, N лежат на отрезках, то отношения $a, b, c, d$ являются положительными числами. Следовательно, знаменатель $(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)$ не равен нулю. Условие $\det = 0$ равносильно условию равенства нулю числителя:$1-abcd=0 \iff abcd=1$.

Таким образом, доказано, что в случае некомпланарных точек A, B, C, D, точки K, L, M, N лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда $abcd=1$.

Ответ: Утверждение задачи доказано. Точки K, L, M, N лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда произведение отношений $abcd$ равно 1.