Номер 469, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

469. Через середину $K$ ребра $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$ проведена плоскость, параллельная рёбрам $AB$ и $CD$. Она пересекает ребро $BC$ в точке $M$. Учитывая, что $AB = 8$, $CD = 6$, $KM = 5$, найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через точку $K$ и параллельная ребрам $AB$ и $CD$. Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Построим эти прямые в плоскости $\alpha$.

1. Рассмотрим плоскость грани $ABD$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, она пересекает плоскость $ABD$ по прямой, параллельной $AB$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с ребром $BD$ в точке $L$. Таким образом, $KL \parallel AB$. Так как $K$ — середина ребра $AD$, то по теореме Фалеса точка $L$ будет серединой ребра $BD$. Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABD$.

Длина отрезка $KL$ равна половине длины ребра $AB$:

$KL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

2. Рассмотрим плоскость грани $BCD$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$, она пересекает плоскость $BCD$ по прямой, параллельной $CD$. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную $CD$. По условию, секущая плоскость $\alpha$ пересекает ребро $BC$ в точке $M$, значит, эта прямая и есть $LM$. Таким образом, $LM \parallel CD$. Так как $L$ — середина ребра $BD$, то по теореме Фалеса точка $M$ будет серединой ребра $BC$. Отрезок $LM$ является средней линией треугольника $BCD$.

Длина отрезка $LM$ равна половине длины ребра $CD$:

$LM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

3. Мы построили две пересекающиеся в точке $L$ прямые $KL$ и $LM$, лежащие в плоскости $\alpha$. При этом $KL \parallel AB$ и $LM \parallel CD$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равен углу между отрезками $KL$ и $LM$, то есть углу $\angle KLM$ в треугольнике $KLM$.

4. Найдем величину угла $\angle KLM$. Рассмотрим треугольник $KLM$. Нам известны длины всех его сторон:

• $KL = 4$ (из пункта 1)
• $LM = 3$ (из пункта 2)
• $KM = 5$ (по условию задачи)

Применим к треугольнику $KLM$ теорему косинусов для нахождения угла $\angle KLM$, который обозначим как $\phi$:

$KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 \cdot KL \cdot LM \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:

$5^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(\phi)$

$25 = 16 + 9 - 24 \cdot \cos(\phi)$

$25 = 25 - 24 \cdot \cos(\phi)$

$24 \cdot \cos(\phi) = 0$

$\cos(\phi) = 0$

Так как $\phi$ — угол в треугольнике, то $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$. Единственное значение угла в этом диапазоне, косинус которого равен нулю, это $90^\circ$.

Следовательно, $\phi = \angle KLM = 90^\circ$.

Можно также заметить, что стороны треугольника $KLM$ равны 3, 4, 5. Это Пифагорова тройка, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. По обратной теореме Пифагора, треугольник $KLM$ является прямоугольным, причем прямой угол лежит напротив большей стороны $KM$. Таким образом, $\angle KLM = 90^\circ$.

Угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен углу $\angle KLM$, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.