Номер 475, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

475. Диагонали основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются под углом $60^{\circ}$, его высота $AA_1$ равна меньшему ребру $BC$ основания $ABCD$. Точки $M$, $P$ и $K$ — середины рёбер $AA_1$, $C_1D_1$ и $BC$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми:

а) $A_1K$ и $MC_1$;

б) $DM$ и $A_1K$;

в) $CP$ и $MK$;

г) $BP$ и $MC_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть $AD = b$ и $AB = a$. Основание $ABCD$ — прямоугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Длина диагонали $d = \sqrt{a^2+b^2}$.

По условию, угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной основания, например, $\triangle AOD$. В нем $AO = DO = d/2$. Пусть острый угол между диагоналями равен $60^\circ$.

Если $\angle AOD = 60^\circ$, то по теореме косинусов для $\triangle AOD$:
$AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(60^\circ)$
$b^2 = 2 \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{d^2}{2} - \frac{d^2}{4} = \frac{d^2}{4}$
$d^2 = 4b^2$. Подставив $d^2 = a^2+b^2$, получаем $a^2+b^2 = 4b^2 \implies a^2 = 3b^2 \implies a = b\sqrt{3}$.
В этом случае $a > b$, то есть $AB > AD$.

По условию, высота $AA_1$ равна меньшему ребру основания $BC$. Так как $BC=AD$, то $AA_1 = AD = b$. Это означает, что $AD$ — меньшее ребро, то есть $AD < AB$, или $b < a$. Это соответствует найденному соотношению $a = b\sqrt{3}$.

Итак, размеры параллелепипеда: $AB=b\sqrt{3}$, $AD=b$, $AA_1=b$. Определим координаты вершин и заданных точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(b\sqrt{3}, 0, 0)$
• $C(b\sqrt{3}, b, 0)$
• $D(0, b, 0)$
• $A_1(0, 0, b)$
• $C_1(b\sqrt{3}, b, b)$
• $D_1(0, b, b)$
• $M$ — середина $AA_1 \implies M(0, 0, b/2)$
• $P$ — середина $C_1D_1 \implies P\left(\frac{b\sqrt{3}+0}{2}, \frac{b+b}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = P(b\sqrt{3}/2, b, b)$
• $K$ — середина $BC \implies K\left(\frac{b\sqrt{3}+b\sqrt{3}}{2}, \frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = K(b\sqrt{3}, b/2, 0)$

Косинус угла $\theta$ между прямыми, содержащими векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$, находится по формуле:$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) $A_1K$ и $MC_1$

Найдем координаты векторов $\vec{A_1K}$ и $\vec{MC_1}$:
$\vec{A_1K} = K - A_1 = (b\sqrt{3}-0, b/2-0, 0-b) = (b\sqrt{3}, b/2, -b)$.
$\vec{MC_1} = C_1 - M = (b\sqrt{3}-0, b-0, b-b/2) = (b\sqrt{3}, b, b/2)$.
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{A_1K} \cdot \vec{MC_1} = (b\sqrt{3})(b\sqrt{3}) + (b/2)(b) + (-b)(b/2) = 3b^2 + b^2/2 - b^2/2 = 3b^2$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{A_1K}| = \sqrt{(b\sqrt{3})^2 + (b/2)^2 + (-b)^2} = \sqrt{3b^2 + b^2/4 + b^2} = \sqrt{4b^2 + b^2/4} = \sqrt{\frac{17b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{17}}{2}$.
$|\vec{MC_1}| = \sqrt{(b\sqrt{3})^2 + b^2 + (b/2)^2} = \sqrt{3b^2 + b^2 + b^2/4} = \sqrt{4b^2 + b^2/4} = \sqrt{\frac{17b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{17}}{2}$.
Найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{|3b^2|}{\frac{b\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{b\sqrt{17}}{2}} = \frac{3b^2}{17b^2/4} = \frac{12}{17}$.
Ответ: $\frac{12}{17}$.

б) $DM$ и $A_1K$

Найдем координаты вектора $\vec{DM}$:
$\vec{DM} = M - D = (0-0, 0-b, b/2-0) = (0, -b, b/2)$.
Вектор $\vec{A_1K}$ из предыдущего пункта: $\vec{A_1K} = (b\sqrt{3}, b/2, -b)$.
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{DM} \cdot \vec{A_1K} = (0)(b\sqrt{3}) + (-b)(b/2) + (b/2)(-b) = 0 - b^2/2 - b^2/2 = -b^2$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{DM}| = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + (b/2)^2} = \sqrt{b^2 + b^2/4} = \sqrt{\frac{5b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{5}}{2}$.
$|\vec{A_1K}| = \frac{b\sqrt{17}}{2}$ (из пункта а).
Найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{|-b^2|}{\frac{b\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{b\sqrt{17}}{2}} = \frac{b^2}{b^2\sqrt{85}/4} = \frac{4}{\sqrt{85}} = \frac{4\sqrt{85}}{85}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{85}}{85}$.

в) $CP$ и $MK$

Найдем координаты векторов $\vec{CP}$ и $\vec{MK}$:
$\vec{CP} = P - C = (b\sqrt{3}/2 - b\sqrt{3}, b - b, b - 0) = (-b\sqrt{3}/2, 0, b)$.
$\vec{MK} = K - M = (b\sqrt{3}-0, b/2-0, 0-b/2) = (b\sqrt{3}, b/2, -b/2)$.
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{CP} \cdot \vec{MK} = (-\frac{b\sqrt{3}}{2})(b\sqrt{3}) + (0)(\frac{b}{2}) + (b)(-\frac{b}{2}) = -\frac{3b^2}{2} - \frac{b^2}{2} = -\frac{4b^2}{2} = -2b^2$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{CP}| = \sqrt{(-\frac{b\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2 + b^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4} + b^2} = \sqrt{\frac{7b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{7}}{2}$.
$|\vec{MK}| = \sqrt{(b\sqrt{3})^2 + (b/2)^2 + (-b/2)^2} = \sqrt{3b^2 + \frac{b^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3b^2 + \frac{b^2}{2}} = \sqrt{\frac{7b^2}{2}} = \frac{b\sqrt{14}}{2}$.
Найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{|-2b^2|}{\frac{b\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{b\sqrt{14}}{2}} = \frac{2b^2}{\frac{b^2\sqrt{98}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{98}} = \frac{8}{7\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{14} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{7}$.

г) $BP$ и $MC_1$

Найдем координаты вектора $\vec{BP}$:
$\vec{BP} = P - B = (b\sqrt{3}/2 - b\sqrt{3}, b - 0, b - 0) = (-b\sqrt{3}/2, b, b)$.
Вектор $\vec{MC_1}$ из пункта а: $\vec{MC_1} = (b\sqrt{3}, b, b/2)$.
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{BP} \cdot \vec{MC_1} = (-\frac{b\sqrt{3}}{2})(b\sqrt{3}) + (b)(b) + (b)(\frac{b}{2}) = -\frac{3b^2}{2} + b^2 + \frac{b^2}{2} = -\frac{3b^2}{2} + \frac{2b^2}{2} + \frac{b^2}{2} = \frac{-3b^2+2b^2+b^2}{2} = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Угол между соответствующими прямыми равен $90^\circ$, и его косинус равен 0.
Ответ: $0$.