Номер 474, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

474. Точки $M, K$ и $P$ на рёбрах $AA_1, BC$ и $C_1D_1$ правильной четырёх-угольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны так, что $AM = MA_1 = AD, BK = KC, C_1P = PD_1$. Найдите косинус угла между прямыми:

а) $BM$ и $C_1K$;

б) $AP$ и $MC_1$;

в) $CM$ и $PK$;

г) $D_1K$ и $MC_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма, в её основании лежит квадрат $ABCD$. Из условия $AM = MA_1 = AD$ следует, что высота призмы $AA_1$ вдвое больше стороны основания $AD$. Примем длину стороны основания за единицу: $AD = 1$. Тогда высота призмы $AA_1 = 2$.

Определим координаты необходимых точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, 1, 0)$
• $C(1, 1, 0)$
• $C_1(1, 1, 2)$
• $D_1(1, 0, 2)$
• $M$ — середина $AA_1$, так как $AM = MA_1$. С учетом $AM = AD = 1$, координаты точки $M(0, 0, 1)$.
• $K$ — середина $BC$, так как $BK = KC$. Координаты точки $K(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$.
• $P$ — середина $C_1D_1$, так как $C_1P = PD_1$. Координаты точки $P(\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 2)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) BM и C₁K

Найдем координаты векторов $\vec{BM}$ и $\vec{C_1K}$:

$\vec{BM} = M - B = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$

$\vec{C_1K} = K - C_1 = (\frac{1}{2}-1, 1-1, 0-2) = (-\frac{1}{2}, 0, -2)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{BM} \cdot \vec{C_1K} = 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = -2$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{BM}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{C_1K}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между прямыми:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{BM} \cdot \vec{C_1K}|}{|\vec{BM}| \cdot |\vec{C_1K}|} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{34}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{34} = \frac{2\sqrt{34}}{17}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{34}}{17}$

б) AP и MC₁

Найдем координаты векторов $\vec{AP}$ и $\vec{MC_1}$:

$\vec{AP} = P - A = (1-0, \frac{1}{2}-0, 2-0) = (1, \frac{1}{2}, 2)$

$\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AP} \cdot \vec{MC_1} = 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 1 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{2}$

Найдем длины векторов:

$|\vec{AP}| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$|\vec{MC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Найдем косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{MC_1}|}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{MC_1}|} = \frac{|\frac{7}{2}|}{\frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{63}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{63}} = \frac{7}{\sqrt{9 \cdot 7}} = \frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{3}$

в) CM и PK

Найдем координаты векторов $\vec{CM}$ и $\vec{PK}$:

$\vec{CM} = M - C = (0-1, 0-1, 1-0) = (-1, -1, 1)$

$\vec{PK} = K - P = (\frac{1}{2}-1, 1-\frac{1}{2}, 0-2) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -2)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{CM} \cdot \vec{PK} = (-1) \cdot (-\frac{1}{2}) + (-1) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (-2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 2 = -2$

Найдем длины векторов:

$|\vec{CM}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$|\vec{PK}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{1}{2} + 4} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$

Найдем косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{CM} \cdot \vec{PK}|}{|\vec{CM}| \cdot |\vec{PK}|} = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

г) D₁K и MC₁

Найдем координаты векторов $\vec{D_1K}$ и $\vec{MC_1}$:

$\vec{D_1K} = K - D_1 = (\frac{1}{2}-1, 1-0, 0-2) = (-\frac{1}{2}, 1, -2)$

Вектор $\vec{MC_1}$ был найден в пункте б): $\vec{MC_1} = (1, 1, 1)$, и его длина $|\vec{MC_1}| = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{D_1K} \cdot \vec{MC_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 = -\frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{3}{2}$

Найдем длину вектора $\vec{D_1K}$:

$|\vec{D_1K}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 4} = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

Найдем косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{D_1K} \cdot \vec{MC_1}|}{|\vec{D_1K}| \cdot |\vec{MC_1}|} = \frac{|-\frac{3}{2}|}{\frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{63}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{63}} = \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 7}} = \frac{3}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{7}$