Номер 470, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

470. В правильной треугольной призме боковое ребро вдвое меньше ребра основания. Найдите угол между скрещивающимися диагоналями соседних граней.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$. В основании лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые грани являются прямоугольниками.

Пусть ребро основания равно $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Согласно условию, боковое ребро вдвое меньше ребра основания, поэтому высота призмы $h = AA_1 = BB_1 = CC_1 = \frac{a}{2}$.

Нам нужно найти угол между скрещивающимися диагоналями соседних граней. Возьмем две соседние боковые грани, например, $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Они имеют общее ребро $BB_1$.

Диагоналями грани $ABB_1A_1$ являются $AB_1$ и $A_1B$. Диагоналями грани $BCC_1B_1$ являются $BC_1$ и $B_1C$.

Задача говорит об угле (в единственном числе) между скрещивающимися диагоналями. Это предполагает, что мы должны выбрать определённую пару диагоналей. Естественным выбором является пара диагоналей, исходящих (или инцидентных) из одной из вершин общего ребра.

• Если мы выберем вершину $B_1$, то диагонали, инцидентные этой вершине, — это $AB_1$ и $B_1C$. Эти диагонали пересекаются в точке $B_1$ и не являются скрещивающимися.
• Если мы выберем вершину $B$, то диагонали, инцидентные этой вершине, — это $A_1B$ и $BC_1$. Эти диагонали не лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть они скрещивающиеся.

Таким образом, мы будем искать угол между прямыми $A_1B$ и $BC_1$. Этот угол можно найти с помощью метода координат.

Введем систему координат. Поместим начало координат в точку $B$. Направим ось $Bx$ вдоль ребра $BC$, ось $Bz$ вдоль ребра $BB_1$. Ось $By$ будет лежать в плоскости основания $ABC$ и будет перпендикулярна $BC$.

Найдем координаты вершин, необходимых для вычислений:

• $B = (0, 0, 0)$
• $C = (a, 0, 0)$
• Высота треугольника $ABC$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершины $A$ будут $A = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $B_1 = (0, 0, h) = (0, 0, \frac{a}{2})$
• $A_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$
• $C_1 = (a, 0, h) = (a, 0, \frac{a}{2})$

Теперь найдем векторы, соответствующие нашим диагоналям $A_1B$ и $BC_1$. Для удобства выберем векторы, исходящие из одной точки, например $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$. Угол между этими векторами и будет искомым углом между прямыми (если он острый).

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a, 0, \frac{a}{2})$

Косинус угла $\phi$ между векторами находится по формуле: $$ \cos \phi = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} $$

Вычислим скалярное произведение векторов: $$ \vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = (\frac{a}{2})(a) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(0) + (\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} $$

Вычислим модули (длины) векторов: $$ |\vec{BA_1}|^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} $$ $$ |\vec{BA_1}| = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} $$ $$ |\vec{BC_1}|^2 = (a)^2 + (0)^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} $$ $$ |\vec{BC_1}| = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} $$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $$ \cos \phi = \frac{\frac{3a^2}{4}}{(\frac{a\sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{5}}{2})} = \frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{5a^2}{4}} = \frac{3}{5} $$

Поскольку косинус положителен, угол $\phi$ является острым, и это и есть искомый угол между прямыми.

Ответ: $\arccos(\frac{3}{5})$.