Номер 473, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

473. Точка $M$ — середина ребра $SA$ пирамиды $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$. Ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания, $SB : BC = \sqrt{11}$. Найдите угол между прямыми $CM$ и $AD$.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, которая параллельна второй прямой и пересекает первую. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $CM$ и $AD$ воспользуемся этим определением.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$, следовательно, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Таким образом, угол между прямыми $CM$ и $AD$ равен углу между прямыми $CM$ и $BC$. Поскольку эти прямые пересекаются в точке $C$, искомый угол равен углу $\angle BCM$.

Для нахождения величины угла $\angle BCM$ рассмотрим треугольник $BCM$. Вычислим длины его сторон. Введем обозначение: пусть длина стороны квадрата $ABCD$ равна $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Из условия задачи $SB : BC = \sqrt{11}$, тогда высота пирамиды $SB = a\sqrt{11}$.

Так как ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, мы можем найти длины боковых ребер, выходящих из вершины $S$. В прямоугольном треугольнике $SBA$ (где $\angle SBA = 90^\circ$):$SA^2 = SB^2 + AB^2 = (a\sqrt{11})^2 + a^2 = 11a^2 + a^2 = 12a^2$.$SA = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}$.

Точка $M$ — середина ребра $SA$, следовательно, $AM = MS = \frac{1}{2}SA = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $BCM$.
1. Сторона BC: $BC = a$.

2. Сторона BM: Найдем длину $BM$ из треугольника $ABM$ по теореме косинусов. Сначала найдем косинус угла $\angle SAB$ из прямоугольного треугольника $SBA$:$\cos(\angle SAB) = \frac{AB}{SA} = \frac{a}{2a\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. В треугольнике $ABM$ по теореме косинусов:$BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle SAB)$$BM^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = a^2 + 3a^2 - a^2 = 3a^2$.$BM = a\sqrt{3}$.

3. Сторона CM: Найдем длину $CM$ из треугольника $ACM$ по теореме косинусов. Для этого нам понадобится длина ребра $SC$ и косинус угла $\angle SAC$. В прямоугольном треугольнике $SBC$ (где $\angle SBC = 90^\circ$):$SC^2 = SB^2 + BC^2 = (a\sqrt{11})^2 + a^2 = 11a^2 + a^2 = 12a^2$.$SC = 2a\sqrt{3}$. Диагональ основания $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. В треугольнике $SAC$ стороны $SA = SC = 2a\sqrt{3}$, $AC = a\sqrt{2}$. Найдем косинус угла $\angle SAC$ (он же $\angle SAM$):$SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos(\angle SAC)$$(2a\sqrt{3})^2 = (2a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2a\sqrt{3}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(\angle SAC)$$12a^2 = 12a^2 + 2a^2 - 4a^2\sqrt{6} \cos(\angle SAC)$$4a^2\sqrt{6} \cos(\angle SAC) = 2a^2$$\cos(\angle SAC) = \frac{2a^2}{4a^2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{6}}$. Теперь в треугольнике $ACM$ по теореме косинусов:$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle SAC)$$CM^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{6}}$$CM^2 = 2a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{6}} = 5a^2 - a^2 = 4a^2$.$CM = 2a$.

Итак, в треугольнике $BCM$ мы имеем стороны: $BC=a$, $BM=a\sqrt{3}$, $CM=2a$. Для нахождения угла $\angle BCM$ снова применяем теорему косинусов:$BM^2 = BC^2 + CM^2 - 2 \cdot BC \cdot CM \cdot \cos(\angle BCM)$$(a\sqrt{3})^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(\angle BCM)$$3a^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cos(\angle BCM)$$3a^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(\angle BCM)$$4a^2 \cos(\angle BCM) = 5a^2 - 3a^2$$4a^2 \cos(\angle BCM) = 2a^2$$\cos(\angle BCM) = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $\angle BCM = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$. Угол между прямыми по определению является острым или прямым, $60^\circ$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $60^\circ$.