Номер 468, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

468. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом $C$. Точка $M$ — середина ребра $AB$, $AM = AA_1$. Найдите угол между прямыми:

а) $A_1C$ и $MB_1$;

б) $AC_1$ и $MB_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $C$, ось $Cx$ направлена вдоль ребра $CA$, ось $Cy$ — вдоль ребра $CB$, а ось $Cz$ — вдоль бокового ребра $CC_1$.

По условию, в основании призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим длину катетов $AC$ и $BC$ как $a$. Тогда $AC = BC = a$.

Координаты вершин основания $ABC$:

• $C(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $B(0, a, 0)$

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Точка $M$ — середина ребра $AB$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$:

$M\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

По условию, $AM = AA_1$. Длина отрезка $AM$ равна половине длины гипотенузы $AB$:

$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Призма прямая, поэтому $AA_1$ — ее высота. Обозначим высоту призмы как $h$. Тогда $h = AA_1 = AM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$:

• $A_1(a, 0, h) = A_1\left(a, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$
• $B_1(0, a, h) = B_1\left(0, a, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$
• $C_1(0, 0, h) = C_1\left(0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем этот угол, используя скалярное произведение векторов.

Найдем координаты направляющих векторов прямых $A_1C$ и $MB_1$.

Для прямой $A_1C$ возьмем вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = \{a - 0; 0 - 0; \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0\} = \{a; 0; \frac{a\sqrt{2}}{2}\}$.

Для прямой $MB_1$ возьмем вектор $\vec{MB_1}$:

$\vec{MB_1} = \{0 - \frac{a}{2}; a - \frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0\} = \{-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{2}}{2}\}$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{CA_1} \cdot \vec{MB_1} = a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = -\frac{a^2}{2} + 0 + \frac{2a^2}{4} = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, и прямые $A_1C$ и $MB_1$ перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Найдем координаты направляющих векторов прямых $AC_1$ и $MB_1$. Вектор $\vec{MB_1}$ уже найден в пункте а):

$\vec{MB_1} = \{-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{2}}{2}\}$.

Для прямой $AC_1$ возьмем вектор $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = \{0 - a; 0 - 0; \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0\} = \{-a; 0; \frac{a\sqrt{2}}{2}\}$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{MB_1}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{MB_1}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{MB_1} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2} + 0 + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$|\vec{MB_1}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \phi = \frac{|a^2|}{a\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.