Номер 461, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

461. Докажите, что три прямые, проходящие через середины противоположных рёбер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на свойствах средней линии треугольника и свойствах параллелограмма.

Обозначим вершины треугольной пирамиды (тетраэдра) как $A$, $B$, $C$ и $D$. В тетраэдре есть три пары противоположных (скрещивающихся) рёбер: $AB$ и $CD$; $AC$ и $BD$; $AD$ и $BC$.

Пусть $K$, $L$, $M$, $N$, $P$, $Q$ — середины рёбер $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$, $BC$ соответственно. Прямые, о которых идёт речь в задаче, — это отрезки (и содержащие их прямые) $KL$, $MN$ и $PQ$. Докажем, что они пересекаются в одной точке.

Рассмотрим две из этих прямых, например, $MN$ и $PQ$. Для этого построим четырёхугольник $MPNQ$.
В треугольнике $ABC$ отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Следовательно, $MQ$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок $MQ$ параллелен стороне $AB$ и равен её половине: $MQ \parallel AB$ и $MQ = \frac{1}{2}AB$.
Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $PN$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AD$ и $BD$. Следовательно, $PN \parallel AB$ и $PN = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, мы имеем $MQ \parallel PN$ (оба отрезка параллельны $AB$) и $MQ = PN$ (оба равны $\frac{1}{2}AB$).
По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны), четырёхугольник $MPNQ$ является параллелограммом.

По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $MN$ и $PQ$ буквой $G$. Таким образом, точка $G$ является серединой как отрезка $MN$, так и отрезка $PQ$.

Теперь докажем, что третья прямая, $KL$, также проходит через точку $G$. Для этого рассмотрим четырёхугольник $KPLQ$.
В треугольнике $ACD$ отрезок $PL$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $PL \parallel AC$ и $PL = \frac{1}{2}AC$.
Аналогично, в треугольнике $ABC$ отрезок $KQ$ является средней линией (соединяет середины $AB$ и $BC$). Следовательно, $KQ \parallel AC$ и $KQ = \frac{1}{2}AC$.

Мы получили, что $PL \parallel KQ$ и $PL = KQ$. Значит, четырёхугольник $KPLQ$ также является параллелограммом.

Его диагонали $KL$ и $PQ$ пересекаются в точке, которая является их общей серединой.

Из первого рассуждения мы знаем, что середина отрезка $PQ$ — это точка $G$. Следовательно, диагональ $KL$ также проходит через точку $G$, и $G$ является её серединой.

Таким образом, все три прямые — $KL$, $MN$ и $PQ$ — пересекаются в одной и той же точке $G$, которая является общей серединой для всех трёх отрезков. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три прямые, проходящие через середины противоположных рёбер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.