Номер 458, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

458. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $CD$ пространственного четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. В определении даны точки $M$ и $K$, а в доказываемом равенстве используется точка $P$. Будем доказывать верное для данной постановки задачи утверждение: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$.

Доказательство

Рассмотрим пространственный четырехугольник $ABCD$. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ – серединой стороны $CD$.

Для доказательства равенства воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{MK}$ двумя различными способами, используя правило сложения векторов (правило многоугольника).

1. Выразим вектор $\vec{MK}$, следуя по ломаной $M \to A \to D \to K$:

$\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DK}$ (1)

2. Выразим вектор $\vec{MK}$, следуя по ломаной $M \to B \to C \to K$:

$\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK}$ (2)

Теперь сложим полученные векторные равенства (1) и (2):

$\vec{MK} + \vec{MK} = (\vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DK}) + (\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CK})$

$2\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{AD} + \vec{BC} + \vec{DK} + \vec{CK}$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$2\vec{MK} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{CK} + \vec{DK})$

Проанализируем суммы векторов в скобках:

• Поскольку $M$ – середина отрезка $AB$, то векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
• Поскольку $K$ – середина отрезка $CD$, то векторы $\vec{CK}$ и $\vec{KD}$ равны: $\vec{CK} = \vec{KD}$. Вектор $\vec{DK}$ противоположен вектору $\vec{KD}$, то есть $\vec{DK} = -\vec{KD}$. Заменив $\vec{KD}$ на $\vec{CK}$, получим $\vec{DK} = -\vec{CK}$. Тогда их сумма: $\vec{CK} + \vec{DK} = \vec{CK} - \vec{CK} = \vec{0}$.

Подставим полученные нулевые векторы в наше уравнение:

$2\vec{MK} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$

$2\vec{MK} = \vec{AD} + \vec{BC}$

Разделив обе части на 2, получаем искомое равенство:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$ доказано.