Номер 456, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

456. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на прямых $BA_1$ и $CB_1$ отмечены точки $M$ и $P$ так, что прямая $MP$ параллельна $AC_1$. Найдите отношение $MP : AC_1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем начало отсчета (начало координат) в точке $A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В качестве базисных векторов выберем векторы, исходящие из этой точки вдоль ребер параллелепипеда: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим радиус-векторы интересующих нас вершин через базисные векторы:

$\vec{A} = \vec{0}$

$\vec{B} = \vec{AB} = \vec{a}$

$\vec{C} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{A_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$

$\vec{B_1} = \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{C_1} = \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Точка $M$ лежит на прямой $BA_1$. Радиус-вектор любой точки на этой прямой можно представить в виде $\vec{AM} = \vec{AB} + m \cdot \vec{BA_1}$ для некоторого скаляра $m$. Выразим это через наши базисные векторы (здесь $\vec{AM}$ — это радиус-вектор точки $M$):

$\vec{AM} = \vec{AB} + m \cdot (\vec{AA_1} - \vec{AB}) = \vec{a} + m(\vec{c} - \vec{a}) = (1-m)\vec{a} + m\vec{c}$.

Аналогично, точка $P$ лежит на прямой $CB_1$. Ее радиус-вектор $\vec{AP}$ можно представить как $\vec{AP} = \vec{AC} + p \cdot \vec{CB_1}$ для некоторого скаляра $p$:

$\vec{AP} = \vec{AC} + p \cdot (\vec{AB_1} - \vec{AC}) = (\vec{a} + \vec{b}) + p((\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b})) = (\vec{a} + \vec{b}) + p(\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c}$.

Теперь найдем вектор $\vec{MP}$:

$\vec{MP} = \vec{AP} - \vec{AM} = (\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c}) - ((1-m)\vec{a} + m\vec{c}) = (1 - (1-m))\vec{a} + (1-p)\vec{b} + (p-m)\vec{c} = m\vec{a} + (1-p)\vec{b} + (p-m)\vec{c}$.

По условию задачи прямая $MP$ параллельна прямой $AC_1$. Это означает, что векторы $\vec{MP}$ и $\vec{AC_1}$ коллинеарны, то есть существует такое число $\lambda$, что $\vec{MP} = \lambda \vec{AC_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ равен $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Подставим выражения для векторов в равенство:

$m\vec{a} + (1-p)\vec{b} + (p-m)\vec{c} = \lambda(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

$m\vec{a} + (1-p)\vec{b} + (p-m)\vec{c} = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b} + \lambda\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны (они являются ребрами параллелепипеда, исходящими из одной вершины), данное векторное равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при соответствующих базисных векторах в левой и правой частях равны. Это дает нам систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $m$, $p$ и $\lambda$:

$\begin{cases} m = \lambda \\ 1-p = \lambda \\ p-m = \lambda \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения имеем $\lambda = m$. Подставим это во второе и третье уравнения:

$\begin{cases} 1-p = m \\ p-m = m \end{cases}$

Из второго уравнения новой системы находим $p=2m$. Подставим это выражение для $p$ в первое уравнение:

$1 - 2m = m$

$1 = 3m$

$m = \frac{1}{3}$

Теперь находим $p$ и $\lambda$:

$p = 2m = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\lambda = m = \frac{1}{3}$

Таким образом, мы установили, что $\vec{MP} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$.

Отношение длин отрезков $MP$ и $AC_1$ равно модулю коэффициента пропорциональности $\lambda$:

$\frac{MP}{AC_1} = |\lambda| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомое отношение $MP : AC_1$ равно $1:3$.

Ответ: $1:3$.