Номер 453, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

453. В треугольной пирамиде $SABC$ медианы основания пересекаются в точке $M$, точка $Q$ на ребре $SC$ такова, что $SQ : QC = k$. Определите, в каком отношении отрезок $SM$ разделяется плоскостью $ABQ$, учитывая, что:

а) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = 0,5$.

Для решения задачи воспользуемся методом сечений и теоремой Менелая. Пусть $P$ — точка пересечения отрезка $SM$ с плоскостью $ABQ$. Нам необходимо найти отношение $SP:PM$.

1. Рассмотрим плоскость, в которой лежит отрезок $SM$. Точка $M$ — точка пересечения медиан основания $ABC$. Пусть $CN$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Тогда точка $N$ является серединой отрезка $AB$, а точка $M$ лежит на отрезке $CN$. Следовательно, отрезок $SM$ лежит в плоскости $SCN$.

2. Найдем линию пересечения секущей плоскости $ABQ$ и плоскости $SCN$. Точка $Q$ лежит на ребре $SC$, значит, $Q$ принадлежит плоскости $SCN$. По условию, точка $Q$ также принадлежит секущей плоскости $ABQ$. Таким образом, $Q$ — общая точка этих двух плоскостей. Точка $N$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, точка $N$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $ABQ$. Также точка $N$ по построению лежит в плоскости $SCN$. Таким образом, $N$ — вторая общая точка этих двух плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABQ$ и $SCN$ является прямая $QN$.

3. Точка $P$ (пересечение $SM$ с плоскостью $ABQ$) должна лежать на линии пересечения плоскостей $SCN$ и $ABQ$, то есть на прямой $QN$. Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения отрезков $SM$ и $QN$ в плоскости $SCN$.

4. Рассмотрим треугольник $SCM$ и прямую $QPN$ как секущую. По теореме Менелая для треугольника $SCM$ и секущей $QPN$ имеем:

$$ \frac{SQ}{QC} \cdot \frac{CN}{NM} \cdot \frac{MP}{PS} = 1 $$

5. Найдем значения отношений, входящих в уравнение:

• По условию задачи, $SQ:QC = k$, следовательно, $\frac{SQ}{QC} = k$.
• Точка $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Она делит медиану $CN$ в отношении $CM:MN = 2:1$. Отсюда следует, что $CN = CM + MN = 2MN + MN = 3MN$. Тогда отношение $\frac{CN}{NM} = \frac{3MN}{MN} = 3$.

6. Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ k \cdot 3 \cdot \frac{MP}{PS} = 1 $$

Отсюда выразим искомое отношение:

$$ \frac{MP}{PS} = \frac{1}{3k} $$

Таким образом, отношение, в котором точка $P$ делит отрезок $SM$, считая от вершины $S$, равно:

$$ \frac{SP}{PM} = 3k $$

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев.

а) При $k=1$

Отношение, в котором плоскость $ABQ$ делит отрезок $SM$, равно $SP:PM$. Подставим значение $k=1$ в общую формулу:

$$ \frac{SP}{PM} = 3 \cdot 1 = 3 $$

Таким образом, отношение $SP:PM = 3:1$.

Ответ: $3:1$.

б) При $k=2$

Подставим значение $k=2$ в общую формулу:

$$ \frac{SP}{PM} = 3 \cdot 2 = 6 $$

Таким образом, отношение $SP:PM = 6:1$.

Ответ: $6:1$.

в) При $k=0,5$

Подставим значение $k=0,5$ в общую формулу:

$$ \frac{SP}{PM} = 3 \cdot 0,5 = 1,5 = \frac{3}{2} $$

Таким образом, отношение $SP:PM = 3:2$.

Ответ: $3:2$.