Номер 3, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Объясните, как можно находить угол между двумя плоскостями.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно найти несколькими способами. Основные из них — геометрический и координатно-векторный.

Геометрический метод (через двугранный угол)

Этот метод основан на определении угла между плоскостями как меры двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения в одной и той же точке. Этот угол называется линейным углом двугранного угла.

Алгоритм нахождения угла:

1. Найти прямую c, по которой пересекаются две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

2. Выбрать на прямой c произвольную точку M.

3. В плоскости $\alpha$ провести прямую a через точку M так, чтобы $a \perp c$.

4. В плоскости $\beta$ провести прямую b через точку M так, чтобы $b \perp c$.

5. Угол между прямыми a и b и будет искомым углом $\phi$ между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

6. Далее величина этого угла обычно находится из рассмотрения какой-либо плоской фигуры (чаще всего треугольника), в которую входит этот угол. Для этого используются теоремы косинусов, синусов или определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Ответ: Геометрически угол между плоскостями находится как линейный угол соответствующего двугранного угла. Для этого к линии пересечения плоскостей строят два перпендикуляра, лежащие в этих плоскостях и выходящие из одной точки, а затем находят угол между этими перпендикулярами.

Координатно-векторный метод (через векторы нормали)

Этот метод является универсальным и часто более простым в вычислительном плане, особенно в сложных геометрических конфигурациях. Он основан на том, что угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали.

Определение: Вектор нормали (нормальный вектор) $\vec{n}$ к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Алгоритм нахождения угла:

1. Ввести в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz.

2. Найти уравнения обеих плоскостей в общем виде:

   • Плоскость $\alpha$: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
   • Плоскость $\beta$: $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

3. Определить координаты векторов нормали для каждой плоскости. Коэффициенты при x, y, z в общем уравнении плоскости являются координатами ее вектора нормали:

   • $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ для плоскости $\alpha$
   • $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$ для плоскости $\beta$

4. Найти косинус угла $\phi$ между плоскостями (который равен модулю косинуса угла между их векторами нормали) по формуле скалярного произведения векторов:

   $\cos{\phi} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

   В координатной форме формула выглядит так:

   $\cos{\phi} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

   Использование модуля скалярного произведения гарантирует, что мы получим острый угол ($0 \le \phi \le 90^\circ$), как это принято в геометрии.

5. Искомый угол $\phi$ находится как арккосинус полученного значения: $\phi = \arccos(\cos{\phi})$.

Ответ: Координатным методом угол между плоскостями находится через угол между их векторами нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Для этого составляются уравнения плоскостей, определяются координаты векторов нормали и вычисляется косинус угла по формуле скалярного произведения векторов.