Номер 7, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Объясните, как можно находить расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Существует несколько способов нахождения этого расстояния.

1. Геометрический метод

Этот метод основан непосредственно на определении расстояния и предполагает геометрические построения.

1. Через заданную точку $M$ проводится прямая $l$, перпендикулярная данной плоскости $\alpha$.
2. Находится точка $H$ — точка пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Эта точка называется проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.
3. Искомое расстояние равно длине отрезка $MH$.

Этот метод удобен в задачах, где перпендикуляр легко построить и его длину легко вычислить из геометрических соображений (например, используя подобные треугольники, теорему Пифагора или тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике).

2. Координатный метод

Это наиболее универсальный и часто используемый метод, особенно в аналитической геометрии. Он основан на использовании специальной формулы.

Пусть в прямоугольной системе координат задана точка $M(x_0, y_0, z_0)$ и плоскость $\alpha$ своим общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$.

Тогда расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Пояснение к формуле:

• $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки.
• $A, B, C$ — коэффициенты при переменных в уравнении плоскости; они являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, который перпендикулярен плоскости.
• $D$ — свободный член в уравнении плоскости.
• Числитель $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|$ — это модуль значения, которое получается при подстановке координат точки в левую часть уравнения плоскости.
• Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ — это длина (модуль) вектора нормали $||\vec{n}||$.

Алгоритм нахождения расстояния координатным методом:

1. Если они не заданы, ввести прямоугольную систему координат.
2. Найти координаты точки $M(x_0, y_0, z_0)$.
3. Составить общее уравнение плоскости $\alpha$ в виде $Ax + By + Cz + D = 0$.
4. Подставить координаты точки и коэффициенты из уравнения плоскости в формулу и произвести вычисления.

3. Метод объемов

Этот метод удобен для нахождения расстояния от вершины пирамиды до плоскости ее основания.

Пусть требуется найти расстояние от точки $S$ до плоскости, проходящей через три точки $A, B, C$. Это расстояние является высотой $h$ тетраэдра (треугольной пирамиды) $SABC$, опущенной из вершины $S$ на основание $ABC$.

Объем тетраэдра можно вычислить двумя способами:

1. Через площадь основания и высоту: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

2. Через смешанное произведение векторов, выходящих из одной вершины (например, A): $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AS}|$

Приравнивая эти два выражения для объема, можно выразить высоту $h$:

$h = \frac{3V}{S_{ABC}}$

Алгоритм нахождения расстояния методом объемов:

1. Задать тетраэдр, для которого искомое расстояние является высотой.
2. Вычислить его объем $V$ (например, с помощью смешанного произведения векторов, если известны координаты вершин).
3. Вычислить площадь его основания $S_{ABC}$ (например, с помощью векторного произведения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}||$).
4. Найти высоту (искомое расстояние) по формуле $h = \frac{3V}{S_{ABC}}$.

Ответ: Расстояние от точки до плоскости можно найти несколькими способами: геометрически (построив перпендикуляр и найдя его длину), координатным методом (используя формулу $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$) или методом объемов (выразив расстояние как высоту тетраэдра через его объем и площадь основания).