Номер 454, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

454. В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$, точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно (рис. 376). Определите, в каком отношении отрезок $PQ$ разделяется плоскостью $SBD$.

Рис. 376

Для решения данной задачи воспользуемся методом вспомогательных построений и свойствами средней линии треугольника и параллельных прямой и плоскости.

1. Построение

Введем в рассмотрение несколько дополнительных точек. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Также введем точку $K$ как середину ребра $CD$.

2. Установление параллельности

Рассмотрим треугольник $SDC$. По условию, $Q$ — середина ребра $SC$, а по нашему построению, $K$ — середина ребра $CD$. Следовательно, отрезок $QK$ является средней линией треугольника $SDC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, $QK \parallel SD$.

$$QK \parallel SD$$

Прямая $SD$ принадлежит плоскости $SBD$. Поскольку прямая $QK$ не лежит в плоскости $SBD$ и параллельна прямой $SD$, лежащей в этой плоскости, то прямая $QK$ параллельна всей плоскости $SBD$.

3. Построение плоскости сечения и нахождение линии пересечения

Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через точки $P$, $Q$ и $K$. Обозначим эту плоскость $\pi_{PQK}$. Отрезок $PQ$ целиком лежит в этой плоскости.

Точка пересечения отрезка $PQ$ с плоскостью $SBD$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\pi_{PQK}$ и $SBD$. Найдем эту линию.

В параллелограмме $ABCD$ отрезок $PK$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $CD$. Такой отрезок всегда проходит через центр параллелограмма — точку $O$, и при этом точка $O$ является его серединой. Таким образом, точка $O$ лежит на отрезке $PK$, а значит, принадлежит плоскости $\pi_{PQK}$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$, поэтому она принадлежит плоскости $SBD$. Следовательно, точка $O$ является общей точкой для плоскостей $\pi_{PQK}$ и $SBD$, то есть лежит на их линии пересечения.

Мы знаем, что прямая $QK$ (лежащая в $\pi_{PQK}$) параллельна плоскости $SBD$. Согласно теореме о пересечении двух плоскостей, одна из которых содержит прямую, параллельную другой, линия их пересечения будет параллельна этой прямой. Значит, линия пересечения плоскостей $\pi_{PQK}$ и $SBD$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $QK$. Обозначим эту линию пересечения как $l$.

$$l = \pi_{PQK} \cap SBD, \text{ где } O \in l \text{ и } l \parallel QK$$

4. Нахождение искомого отношения

Пусть $M$ — точка пересечения отрезка $PQ$ с плоскостью $SBD$. Из построений выше следует, что точка $M$ является точкой пересечения прямой $PQ$ с прямой $l$. Вся дальнейшая задача сводится к рассмотрению планиметрической конфигурации в плоскости $\pi_{PQK}$.

Рассмотрим треугольник $PKQ$, который лежит в плоскости $\pi_{PQK}$.

• Точка $O$ является серединой стороны $PK$.
• Прямая $l$ проходит через точку $O$ и параллельна стороне $QK$ (так как $l \parallel QK$).

По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), прямая, проведенная через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в ее середине.

Следовательно, прямая $l$ пересекает сторону $PQ$ в ее середине. Эта точка пересечения и есть точка $M$.

Таким образом, $M$ — середина отрезка $PQ$, что означает $PM = MQ$. Искомое отношение $PM:MQ$ равно $1:1$.

Ответ: Плоскость $SBD$ делит отрезок $PQ$ в отношении $1:1$.