Номер 472, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

472. В правильной треугольной призме боковое ребро вдвое больше ребра основания. Найдите угол между скрещивающимися диагоналями соседних граней.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, в которой основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники. Пусть сторона основания равна $a$, то есть $AB = BC = CA = a$. По условию задачи, боковое ребро вдвое больше ребра основания, следовательно, высота призмы $h = AA_1 = 2a$.

Требуется найти угол между скрещивающимися диагоналями соседних граней. Рассмотрим две соседние боковые грани, например, $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Диагонали грани $ABB_1A_1$ — это отрезки $AB_1$ и $A_1B$. Диагонали грани $BCC_1B_1$ — это отрезки $BC_1$ и $B_1C$.

Пары диагоналей этих двух граней могут быть пересекающимися или скрещивающимися.

• Пара ($AB_1$, $B_1C$) имеет общую точку $B_1$, значит, эти диагонали пересекаются.
• Пара ($A_1B$, $BC_1$) имеет общую точку $B$, значит, и эти диагонали пересекаются.
• Пара ($AB_1$, $BC_1$) не имеет общих точек и не параллельна, следовательно, эти диагонали скрещиваются.
• Пара ($A_1B$, $B_1C$) также не имеет общих точек и не параллельна, то есть диагонали скрещиваются.

В силу симметрии правильной призмы, угол между диагоналями $AB_1$ и $BC_1$ будет таким же, как и угол между диагоналями $A_1B$ и $B_1C$. Поэтому достаточно найти угол для одной из этих пар, например, для $AB_1$ и $BC_1$.

Для нахождения угла воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BC$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $BB_1$, а ось $Oy$ — в плоскости основания $ABC$ так, чтобы треугольник $ABC$ находился в полуплоскости $y \ge 0$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:

• $B(0, 0, 0)$
• $C(a, 0, 0)$
• Так как $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной $a$, координаты вершины $A$: $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $B_1(0, 0, 2a)$
• $C_1(a, 0, 2a)$
• $A_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$

Найдем векторы, соответствующие диагоналям $AB_1$ и $BC_1$:$\vec{AB_1} = B_1 - A = (0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$.$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a - 0, 0 - 0, 2a - 0) = (a, 0, 2a)$.

Длины этих векторов равны, так как они являются диагоналями равных прямоугольников (боковых граней):$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.$|\vec{BC_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + (2a) \cdot (2a) = -\frac{a^2}{2} + 4a^2 = \frac{7a^2}{2}$.

Угол $\phi$ между скрещивающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла равен модулю косинуса угла между векторами:$\cos\phi = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{|\frac{7a^2}{2}|}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\frac{7a^2}{2}}{5a^2} = \frac{7}{10}$.

Следовательно, искомый угол равен $\arccos(\frac{7}{10})$.

Ответ: $\arccos(\frac{7}{10})$.