Номер 446, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

446. Определите, при каких значениях $a$ четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, учитывая, что:

а) $A(4; 0; 4)$, $B(0; 0; 0)$, $C(a; 4; 0)$, $D(4; 4; -1)$;

б) $A(2; 3; a)$, $B(3; a; 5)$, $C(1; a; -2)$, $D(-2; 1; -5)$.

Четырехугольник является трапецией, если у него есть ровно одна пара параллельных сторон. Две стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны. Векторы $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$, или $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$. Для четырехугольника $ABCD$ возможны два случая:
1) Стороны $AB$ и $CD$ параллельны (векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны).
2) Стороны $BC$ и $AD$ параллельны (векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны).
При этом нужно исключить случаи, когда обе пары сторон параллельны (тогда это параллелограмм), или когда три вершины лежат на одной прямой (вырожденный четырехугольник).

а) Даны точки $A(4; 0; 4)$, $B(0; 0; 0)$, $C(a; 4; 0)$, $D(4; 4; -1)$.
Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:
$\vec{AB} = (0-4; 0-0; 0-4) = (-4; 0; -4)$
$\vec{CD} = (4-a; 4-4; -1-0) = (4-a; 0; -1)$
$\vec{BC} = (a-0; 4-0; 0-0) = (a; 4; 0)$
$\vec{AD} = (4-4; 4-0; -1-4) = (0; 4; -5)$

Рассмотрим случай 1: $\vec{AB} \parallel \vec{CD}$.
Векторы $\vec{AB}(-4; 0; -4)$ и $\vec{CD}(4-a; 0; -1)$ должны быть коллинеарны.
Их координаты должны быть пропорциональны:
$\frac{-4}{4-a} = \frac{0}{0} = \frac{-4}{-1}$
Из пропорции $\frac{-4}{-1}$ следует, что коэффициент пропорциональности $k=4$.
Тогда для первых координат должно выполняться: $\frac{-4}{4-a} = 4$.
$-4 = 4(4-a)$
$-1 = 4-a$
$a = 5$.
При $a=5$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Проверим, не параллельны ли при этом стороны $BC$ и $AD$.
$\vec{BC} = (5; 4; 0)$
$\vec{AD} = (0; 4; -5)$
Проверим их на коллинеарность: $\frac{5}{0} = \frac{4}{4} = \frac{0}{-5}$. Эта пропорция не верна (деление на ноль в первом отношении). Значит, $BC$ и $AD$ не параллельны.
Следовательно, при $a=5$ четырехугольник является трапецией.

Рассмотрим случай 2: $\vec{BC} \parallel \vec{AD}$.
Векторы $\vec{BC}(a; 4; 0)$ и $\vec{AD}(0; 4; -5)$ должны быть коллинеарны.
$\frac{a}{0} = \frac{4}{4} = \frac{0}{-5}$
Из отношения $\frac{a}{0}$ следует, что $a$ должно быть равно 0. Из отношения $\frac{0}{-5}$ следует, что коэффициент пропорциональности равен 0. Но из отношения $\frac{4}{4}$ коэффициент пропорциональности равен 1. Так как $0 \neq 1$, эти векторы не могут быть коллинеарными ни при каком значении $a$.
Таким образом, единственное значение, при котором четырехугольник является трапецией, это $a=5$.
Ответ: $a=5$.

б) Даны точки $A(2; 3; a)$, $B(3; a; 5)$, $C(1; a; -2)$, $D(-2; 1; -5)$.
Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:
$\vec{AB} = (3-2; a-3; 5-a) = (1; a-3; 5-a)$
$\vec{CD} = (-2-1; 1-a; -5-(-2)) = (-3; 1-a; -3)$
$\vec{BC} = (1-3; a-a; -2-5) = (-2; 0; -7)$
$\vec{AD} = (-2-2; 1-3; -5-a) = (-4; -2; -5-a)$

Рассмотрим случай 1: $\vec{AB} \parallel \vec{CD}$.
Векторы $\vec{AB}(1; a-3; 5-a)$ и $\vec{CD}(-3; 1-a; -3)$ должны быть коллинеарны.
$\frac{1}{-3} = \frac{a-3}{1-a} = \frac{5-a}{-3}$
Из равенства первого и третьего отношений получаем:
$1 = 5-a$
$a = 4$.
Подставим $a=4$ во второе отношение, чтобы проверить, выполняется ли равенство:
$\frac{a-3}{1-a} = \frac{4-3}{1-4} = \frac{1}{-3}$.
Так как $\frac{1}{-3} = \frac{1}{-3} = \frac{1}{-3}$, то при $a=4$ векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны.
Проверим, не параллельны ли при $a=4$ стороны $BC$ и $AD$.
$\vec{BC} = (-2; 0; -7)$
$\vec{AD} = (-4; -2; -5-4) = (-4; -2; -9)$
Проверим их на коллинеарность: $\frac{-2}{-4} = \frac{0}{-2} = \frac{-7}{-9}$.
Получаем $\frac{1}{2} = 0 = \frac{7}{9}$, что неверно. Значит, $BC$ и $AD$ не параллельны.
Следовательно, при $a=4$ четырехугольник является трапецией.

Рассмотрим случай 2: $\vec{BC} \parallel \vec{AD}$.
Векторы $\vec{BC}(-2; 0; -7)$ и $\vec{AD}(-4; -2; -5-a)$ должны быть коллинеарны.
$\frac{-2}{-4} = \frac{0}{-2} = \frac{-7}{-5-a}$
Равенство $\frac{-2}{-4} = \frac{0}{-2}$ неверно, так как $\frac{1}{2} \neq 0$.
Следовательно, стороны $BC$ и $AD$ не могут быть параллельны ни при каком значении $a$.
Таким образом, единственное значение, при котором четырехугольник является трапецией, это $a=4$.
Ответ: $a=4$.