Номер 411, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

411. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 364). Установите, компланарна ли тройка векторов:

а) $\vec{AB}$, $\vec{A_1D_1}$, $\vec{CD_1}$

б) $\vec{AB}$, $\vec{A_1D_1}$, $\vec{C_1D_1}$

в) $\vec{DB}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{A_1D_1}$

г) $\vec{BA_1}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{AD}$

Рис. 364

Три вектора называются компланарными, если существуют параллельные им векторы, лежащие в одной плоскости. Эквивалентное определение: три вектора компланарны, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Если же ни один из трех векторов нельзя выразить через два других, то такие векторы некомпланарны.

Для решения задачи введем три некомпланарных базисных вектора, совпадающих с ребрами параллелепипеда, выходящими из вершины A: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Выразим данные векторы через базисные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

1. $\vec{AB} = \vec{a}$.

2. Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$, так как грань $ADD_1A_1$ — параллелограмм. Следовательно, $\vec{A_1D_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.

3. Чтобы найти вектор $\vec{CD_1}$, воспользуемся правилом многоугольника: $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Поскольку $CDD_1C_1$ — параллелограмм, $\vec{DD_1} = \vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Таким образом, $\vec{CD_1} = -\vec{a} + \vec{c}$.

Проверим, являются ли векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c} - \vec{a}$ компланарными. Для этого нужно выяснить, существуют ли такие числа $k_1$ и $k_2$, что выполняется равенство: $\vec{c} - \vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$.

Перегруппируем слагаемые: $\vec{c} = (k_1+1)\vec{a} + k_2\vec{b}$.

Это равенство означало бы, что вектор $\vec{c}$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть что все три базисных вектора компланарны. Но это противоречит их определению как некомпланарных векторов. Следовательно, таких чисел $k_1$ и $k_2$ не существует.

Ответ: Векторы не являются компланарными.

Выразим данные векторы через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

1. $\vec{AB} = \vec{a}$.

2. $\vec{A_1D_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.

3. Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{BA}$, так как верхнее и нижнее основания параллелепипеда — равные параллелограммы. Следовательно, $\vec{C_1D_1} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

Мы получили тройку векторов: $\vec{a}, \vec{b}, -\vec{a}$. Вектор $-\vec{a}$ является линейной комбинацией двух других векторов, так как $-\vec{a} = (-1)\cdot\vec{a} + 0\cdot\vec{b}$. Поскольку один из векторов выражается через два других, тройка векторов компланарна. Геометрически все три вектора ($\vec{AB}$, $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{C_1D_1}$) параллельны плоскости основания $ABCD$.

Ответ: Векторы являются компланарными.

Выразим данные векторы через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

1. Вектор $\vec{DB}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу вычитания векторов: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$.

2. Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{BC}$, который в свою очередь равен вектору $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.

3. Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{A_1D_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Мы получили тройку векторов: $\vec{a} - \vec{b}, \vec{b}, \vec{b}$. В этой тройке есть два одинаковых вектора. Любая тройка векторов, в которой есть два коллинеарных (в данном случае — равных) вектора, является компланарной. Мы можем выразить один из векторов через два других: $\vec{b} = 0\cdot(\vec{a} - \vec{b}) + 1\cdot\vec{b}$.

Ответ: Векторы являются компланарными.

Выразим данные векторы через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

1. Вектор $\vec{BA_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. По правилу вычитания векторов: $\vec{BA_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{a}$.

2. Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.

3. $\vec{AD} = \vec{b}$.

Мы получили тройку векторов: $\vec{c} - \vec{a}, \vec{b}, \vec{b}$. Как и в предыдущем пункте, в тройке есть два одинаковых вектора, что немедленно означает их компланарность. Один из векторов можно представить как линейную комбинацию двух других: $\vec{b} = 0\cdot(\vec{c} - \vec{a}) + 1\cdot\vec{b}$.

Ответ: Векторы являются компланарными.