Номер 405, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

405. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 363). Укажите вектор, коллинеарный с вектором:

a) $\vec{AB}$;

б) $\vec{A_1A}$;

в) $\vec{A_1D_1}$;

г) $\vec{AC_1}$;

д) $\vec{BD}$;

е) $\vec{A_1B} + \vec{BE}$.

Рис. 363

а) $\vec{AB}$

Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Сторона $ED$ параллельна стороне $AB$, и векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены. Следовательно, вектор $\vec{ED}$ коллинеарен (и даже равен) вектору $\vec{AB}$. Также, поскольку основания призмы параллельны и равны, вектор $\vec{A_1B_1}$ в верхнем основании коллинеарен и равен вектору $\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{ED}$ (или $\vec{A_1B_1}$).

б) $\vec{A_1A}$

Вектор $\vec{A_1A}$ задает направление и длину бокового ребра призмы, направленного вниз. Так как призма правильная, все ее боковые ребра параллельны друг другу и равны по длине. Следовательно, любой вектор, соответствующий боковому ребру и направленный вниз, будет коллинеарен (и равен) вектору $\vec{A_1A}$. Например, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$, $\vec{D_1D}$ и т.д.

Ответ: $\vec{B_1B}$ (или $\vec{C_1C}$, $\vec{D_1D}$ и т.д.).

в) $\vec{A_1D_1}$

Вектор $\vec{A_1D_1}$ является большой диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике большая диагональ параллельна двум сторонам. В данном случае, диагональ $A_1D_1$ параллельна сторонам $B_1C_1$ и $F_1E_1$. Более того, длина большой диагонали в два раза больше длины стороны, и векторы $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{B_1C_1}$ сонаправлены. Таким образом, выполняется равенство $\vec{A_1D_1} = 2 \vec{B_1C_1}$, что означает их коллинеарность.

Ответ: $\vec{B_1C_1}$ (или $\vec{BC}$).

г) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ — это диагональ призмы. Разложим его на сумму векторов: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$. Рассмотрим другую диагональ призмы, $\vec{FD_1}$. Разложим ее аналогично: $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$. Так как призма правильная, ее боковые ребра равны и параллельны, откуда следует, что $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник, в котором четырехугольник $ACDF$ является прямоугольником (его противоположные стороны $AF$ и $CD$ равны, а диагонали $AC$ и $FD$ равны как малые диагонали шестиугольника). Следовательно, его противоположные стороны $\vec{AC}$ и $\vec{FD}$ равны и параллельны, то есть $\vec{AC} = \vec{FD}$. Сравнивая разложения векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$, видим, что они равны ($\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$), а значит, и коллинеарны.

Ответ: $\vec{FD_1}$.

д) $\vec{BD}$

Рассмотрим векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AE}$ в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. По правилу вычитания векторов, $\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$ и $\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$. В правильном шестиугольнике центр является центром симметрии, поэтому для противоположных вершин выполняются векторные равенства $\vec{OD} = -\vec{OA}$ и $\vec{OE} = -\vec{OB}$. Подставим эти равенства в выражение для вектора $\vec{AE}$: $\vec{AE} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA}) = \vec{OD} - \vec{OB}$. Таким образом, мы получили, что $\vec{AE} = \vec{BD}$. Следовательно, эти векторы коллинеарны (и равны).

Ответ: $\vec{AE}$ (или $\vec{B_1D_1}$).

e) $\vec{A_1B} + \vec{BE}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{A_1B} + \vec{BE}$ равна вектору $\vec{A_1E}$, который соединяет начало первого вектора с концом второго. Таким образом, задача сводится к нахождению вектора, коллинеарного вектору $\vec{A_1E}$. Разложим вектор $\vec{A_1E}$ на составляющие: $\vec{A_1E} = \vec{A_1A} + \vec{AE}$. Рассмотрим вектор $\vec{B_1D}$ и разложим его аналогично: $\vec{B_1D} = \vec{B_1B} + \vec{BD}$. Так как призма правильная, $\vec{A_1A} = \vec{B_1B}$. Из решения пункта д) мы знаем, что $\vec{AE} = \vec{BD}$. Следовательно, $\vec{A_1E} = \vec{A_1A} + \vec{AE} = \vec{B_1B} + \vec{BD} = \vec{B_1D}$. Таким образом, вектор $\vec{B_1D}$ коллинеарен (и равен) исходной сумме векторов.

Ответ: $\vec{B_1D}$.