Номер 399, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

399. В пространстве выбраны точки A, B и C. Докажите, что если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то для любой точки P пространства истинно равенство $\overline{PM} = \frac{1}{3}(\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC})$.

Пусть $A, B, C$ — данные точки в пространстве, $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, а $P$ — произвольная точка пространства. Требуется доказать, что $\vec{PM} = \frac{1}{3}(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC})$.

Проведем медиану $AA_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$. Точка пересечения медиан $M$ лежит на этой медиане и, согласно свойству медиан, делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть, $AM : MA_1 = 2:1$.

Для любой точки $P$ в пространстве, вектор $\vec{PM}$ можно выразить через векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PA_1}$ по формуле деления отрезка в заданном отношении (для векторов): $$ \vec{PM} = \frac{1 \cdot \vec{PA} + 2 \cdot \vec{PA_1}}{1+2} = \frac{1}{3}(\vec{PA} + 2\vec{PA_1}) $$

Теперь найдем выражение для вектора $\vec{PA_1}$. Так как точка $A_1$ является серединой отрезка $BC$, ее радиус-вектор из точки $P$ равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $C$ из той же точки $P$: $$ \vec{PA_1} = \frac{1}{2}(\vec{PB} + \vec{PC}) $$

Подставим полученное выражение для $\vec{PA_1}$ в формулу для $\vec{PM}$: $$ \vec{PM} = \frac{1}{3}\left(\vec{PA} + 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{PB} + \vec{PC})\right) $$

Упростив выражение в скобках, получим: $$ \vec{PM} = \frac{1}{3}(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}) $$

Таким образом, мы доказали, что для любой точки $P$ пространства данное равенство истинно. Это равенство также известно как формула для радиус-вектора центроида.

Ответ: Утверждение доказано.