Номер 395, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

395. Докажите, что разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a} + (-\vec{b})$.

Чтобы доказать, что разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a} + (-\vec{b})$, мы должны показать, что вектор $\vec{a} + (-\vec{b})$ удовлетворяет определению разности векторов.

По определению, разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. То есть, если $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, то должно выполняться равенство $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Проверим, выполняется ли это равенство для вектора $\vec{c}$, который, как мы предполагаем, равен $\vec{a} + (-\vec{b})$. Для этого подставим выражение $\vec{a} + (-\vec{b})$ вместо $\vec{c}$ в левую часть равенства $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя сочетательный закон сложения векторов (ассоциативность), мы можем изменить порядок выполнения сложения:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

По определению противоположного вектора, сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору. Также, из-за переместительного закона (коммутативности) сложения, $(-\vec{b}) + \vec{b} = \vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем:

$\vec{a} + \vec{0}$

По свойству нулевого вектора, сумма любого вектора с нулевым вектором равна самому этому вектору:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Таким образом, мы показали, что $(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a}$. Это означает, что вектор $\vec{a} + (-\vec{b})$ по определению является разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Следовательно, равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что по определению разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.