Номер 389, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

389. Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D пространства истинно равенство $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}$.

Для доказательства равенства $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}$ преобразуем его левую часть, используя правило сложения векторов (правило треугольника). Согласно этому правилу, для любых трех точек $X, Y, Z$ справедливо равенство $\vec{XZ} = \vec{XY} + \vec{YZ}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $\vec{AC} + \vec{BD}$.

Представим вектор $\vec{AC}$ как сумму векторов, введя промежуточную точку $D$:
$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

Аналогично, представим вектор $\vec{BD}$ как сумму векторов, введя промежуточную точку $C$:
$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого равенства:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AD} + \vec{DC}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$

Используя свойства коммутативности и ассоциативности сложения векторов, перегруппируем слагаемые:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{CD}$

Сумма векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CD}$ равна нулевому вектору, так как эти векторы являются противоположными (они имеют одинаковую длину и противоположные направления):
$\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{0}$

Таким образом, наше выражение упрощается:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} + \vec{0}$
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}$

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой. Следовательно, равенство истинно для любых четырех точек пространства $A, B, C, D$.

Ответ: Равенство доказано.