Номер 384, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

384. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Учитывая, что $\vec{BC} = \vec{a}$, $\vec{B_1A} = \vec{b}$, $\vec{C_1D_1} = \vec{c}$, покажите на рисунке вектор:

a) $\vec{a}+\vec{b}$;

б) $\vec{b}+\vec{c}$;

в) $\vec{b}-\vec{a}$;

г) $\vec{c}-\vec{b}$;

д) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$.

Для решения задачи сначала определим основные векторы, составляющие параллелепипед, через заданные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Пусть $ABCD$ — нижнее основание параллелепипеда, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание, так что точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ находятся соответственно над $A, B, C, D$.

По условию имеем:

1. $\vec{BC} = \vec{a}$. Поскольку это параллелепипед, то $\vec{AD} = \vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1} = \vec{a}$.
2. $\vec{C_1D_1} = \vec{c}$. В параллелепипеде параллельные ребра равны и сонаправлены, поэтому $\vec{BA} = \vec{CD} = \vec{B_1A_1} = \vec{C_1D_1} = \vec{c}$. Отсюда следует, что $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1} = -\vec{c}$.
3. $\vec{B_1A} = \vec{b}$. Этот вектор является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Мы можем выразить его по правилу треугольника: $\vec{B_1A} = \vec{B_1B} + \vec{BA}$. Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{b} = \vec{B_1B} + \vec{c}$. Отсюда можно выразить вектор бокового ребра: $\vec{B_1B} = \vec{b} - \vec{c}$. Тогда вектор, направленный вверх, будет $\vec{BB_1} = -(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{c} - \vec{b}$. Все боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{c} - \vec{b}$.

Теперь, используя эти соотношения, найдем и покажем на рисунке требуемые векторы.

а) $\vec{a}+\vec{b}$

Нам нужно найти вектор, равный сумме $\vec{a} + \vec{b}$. Используем правило сложения векторов, выбрав удобные для этого векторы из тех, что мы определили.$\vec{a} + \vec{b} = \vec{AD} + \vec{B_1A}$. Это не очень удобно. Воспользуемся разложением векторов по ребрам. Рассмотрим вектор (диагональ) $\vec{B_1D}$. По правилу многоугольника: $\vec{B_1D} = \vec{B_1B} + \vec{BA} + \vec{AD}$. Подставим известные нам выражения:$\vec{B_1D} = (\vec{b} - \vec{c}) + \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b}$. Таким образом, искомый вектор — это диагональ параллелепипеда $\vec{B_1D}$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b} = \vec{B_1D}$.

б) $\vec{b}+\vec{c}$

Нам нужно найти вектор, равный сумме $\vec{b} + \vec{c}$.$\vec{b} + \vec{c} = \vec{B_1A} + \vec{C_1D_1}$. Мы знаем, что $\vec{C_1D_1} = \vec{BA} = \vec{c}$. Тогда сумма равна $\vec{B_1A} + \vec{BA}$. Используем выражение для $\vec{B_1A}$: $\vec{B_1A} = \vec{B_1B} + \vec{BA}$. Тогда $\vec{b} = \vec{B_1B} + \vec{c}$. Искомая сумма: $\vec{b} + \vec{c} = (\vec{B_1B} + \vec{c}) + \vec{c} = \vec{B_1B} + 2\vec{c} = \vec{B_1B} + 2\vec{BA}$. Данное выражение не соответствует ни одному вектору, соединяющему вершины параллелепипеда. Вероятно, в условии этого пункта допущена опечатка. Если бы, например, требовалось найти вектор $\vec{a}+\vec{c}$, то решением был бы вектор $\vec{BD}$, так как $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{c}$. Если предположить, что в условии опечатка и имелось в виду $\vec{b}-\vec{c}$, то решение было бы $\vec{B_1B}$ (см. пункт г). Если имелось в виду $\vec{a}+\vec{b}$, то решение $\vec{B_1D}$ (см. пункт а). В текущей формулировке, вектор $\vec{b}+\vec{c}$ не является вектором, соединяющим какие-либо две вершины данного параллелепипеда.

Ответ: Вектор $\vec{b}+\vec{c}$ в рамках стандартного изображения параллелепипеда не может быть представлен как вектор, соединяющий его вершины. Вероятна опечатка в условии. Например, если бы требовалось найти $\vec{a}+\vec{c}$, ответом был бы вектор $\vec{BD}$.

в) $\vec{b}-\vec{a}$

Нам нужно найти вектор, равный разности $\vec{b} - \vec{a}$. Рассмотрим вектор $\vec{C_1A}$. По правилу треугольника: $\vec{C_1A} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A}$. Мы знаем, что $\vec{C_1B_1} = -\vec{B_1C_1} = -\vec{a}$, а $\vec{B_1A} = \vec{b}$. Подставляем: $\vec{C_1A} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$. Искомый вектор — это диагональ $\vec{C_1A}$.

Ответ: $\vec{b}-\vec{a} = \vec{C_1A}$.

г) $\vec{c}-\vec{b}$

Нам нужно найти вектор, равный разности $\vec{c} - \vec{b}$. Эта разность является противоположной вектору $\vec{b} - \vec{c}$. Найдем сначала $\vec{b} - \vec{c}$:$\vec{b} - \vec{c} = \vec{B_1A} - \vec{BA}$. Из правила треугольника для $\triangle B_1BA$ имеем $\vec{B_1A} = \vec{B_1B} + \vec{BA}$, откуда $\vec{B_1A} - \vec{BA} = \vec{B_1B}$. Следовательно, $\vec{b} - \vec{c} = \vec{B_1B}$. Тогда искомый вектор $\vec{c} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{c}) = -\vec{B_1B} = \vec{BB_1}$. Этот вектор совпадает с любым боковым ребром, направленным вверх.

Ответ: $\vec{c}-\vec{b} = \vec{BB_1}$ (или $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$).

д) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$

Нам нужно найти вектор, равный $\vec{a} + (\vec{b} - \vec{c})$. Из пункта (г) мы знаем, что $\vec{b} - \vec{c} = \vec{B_1B}$. Тогда искомое выражение равно $\vec{a} + \vec{B_1B}$. Подставим $\vec{a} = \vec{BC}$: $\vec{BC} + \vec{B_1B}$. Для сложения этих векторов удобно воспользоваться правилом параллелограмма. Перенесем вектор $\vec{B_1B}$ так, чтобы его начало совпадало с началом вектора $\vec{BC}$, то есть с точкой $B$. Вектор $\vec{B_1B}$ останется самим собой. Рассмотрим сумму $\vec{B_1B} + \vec{BC}$. По правилу параллелограмма, построенного на этих векторах (параллелограмм $BCB_1C_1$), их сумма равна диагонали $\vec{B_1C}$. Проверим: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$.$\vec{B_1C} = (\vec{b}-\vec{c}) + \vec{a} = \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$. Таким образом, искомый вектор — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = \vec{B_1C}$.