Номер 383, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

383. Перенесите рисунок 354 в тетрадь.

а) Отложите от точки $M$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, найдите длину этих векторов и угол между ними;

б) от точки $K$ отложите векторы $\vec{c}$ и $-\vec{d}$, найдите длину этих векторов и угол между ними;

в) постройте вектор $\vec{a}+\vec{b}$, найдите его длину и угол между суммой и каждым слагаемым;

г) постройте вектор $\vec{c}-\vec{d}$ и найдите его длину.

Рис. 354

Для решения задачи примем сторону одной клетки сетки за единицу длины. Сначала определим координаты векторов по рисунку. Координаты вектора равны разности координат его конца и начала.

• Вектор $\vec{a}$ начинается в условной точке (1, 5) и заканчивается в (1, 2), поэтому его координаты $\vec{a} = (1-1, 2-5) = (0, -3)$.
• Вектор $\vec{b}$ начинается в (3, 4) и заканчивается в (6, 4), поэтому его координаты $\vec{b} = (6-3, 4-4) = (3, 0)$.
• Вектор $\vec{c}$ начинается в (5, 2) и заканчивается в (8, 4), поэтому его координаты $\vec{c} = (8-5, 4-2) = (3, 2)$.
• Вектор $\vec{d}$ начинается в (4, 1) и заканчивается в (7, 1), поэтому его координаты $\vec{d} = (7-4, 1-1) = (3, 0)$.

Длина вектора $\vec{v}=(x,y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$.

а) Отложим от точки $M$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
Угол между векторами. Вектор $\vec{a}=(0, -3)$ направлен строго вертикально вниз (вдоль отрицательного направления оси Oy). Вектор $\vec{b}=(3, 0)$ направлен строго горизонтально вправо (вдоль положительного направления оси Ox). Следовательно, эти векторы перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.
Ответ: $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=3$, угол между векторами равен $90^\circ$.

б) Отложим от точки $K$ векторы $\vec{c}$ и $-\vec{d}$.
Вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(3, 2)$. Его длина: $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
Вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(3, 0)$, значит, противоположный ему вектор $-\vec{d}$ имеет координаты $(-3, 0)$.
Длина вектора $-\vec{d}$: $|-\vec{d}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
Угол $\theta$ между векторами $\vec{c}=(3,2)$ и $-\vec{d}=(-3,0)$ найдем через скалярное произведение: $\cos\theta = \frac{\vec{c} \cdot (-\vec{d})}{|\vec{c}| \cdot |-\vec{d}|}$.
Скалярное произведение: $\vec{c} \cdot (-\vec{d}) = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -9$.
$\cos\theta = \frac{-9}{\sqrt{13} \cdot 3} = -\frac{3}{\sqrt{13}}$.
Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.
Ответ: $|\vec{c}|=\sqrt{13}$, $|-\vec{d}|=3$, угол между векторами равен $\arccos\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

в) Построим вектор $\vec{a}+\vec{b}$, найдем его длину и угол между суммой и каждым слагаемым.
Найдем координаты вектора-суммы: $\vec{a}+\vec{b} = (0, -3) + (3, 0) = (0+3, -3+0) = (3, -3)$.
Найдем его длину: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Найдем угол $\alpha$ между вектором суммы $(3, -3)$ и вектором $\vec{a}=(0, -3)$.
$\cos\alpha = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}| \cdot |\vec{a}|} = \frac{3 \cdot 0 + (-3) \cdot (-3)}{3\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\alpha = 45^\circ$.
Найдем угол $\beta$ между вектором суммы $(3, -3)$ и вектором $\vec{b}=(3, 0)$.
$\cos\beta = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{3 \cdot 3 + (-3) \cdot 0}{3\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\beta = 45^\circ$.
Ответ: длина вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равна $3\sqrt{2}$, угол между вектором суммы и вектором $\vec{a}$ равен $45^\circ$, угол между вектором суммы и вектором $\vec{b}$ равен $45^\circ$.

г) Построим вектор $\vec{c}-\vec{d}$ и найдем его длину.
Найдем координаты вектора-разности: $\vec{c}-\vec{d} = (3, 2) - (3, 0) = (3-3, 2-0) = (0, 2)$.
Найдем его длину: $|\vec{c}-\vec{d}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: длина вектора $\vec{c}-\vec{d}$ равна 2.