Номер 13, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Как определяются координаты вектора?

Координаты вектора — это упорядоченный набор чисел, который определяет положение вектора в заданной системе координат. Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат его начальной точки из координат его конечной точки.

Определение координат вектора по двум точкам

Это основной способ нахождения координат. Пусть дан вектор $\vec{AB}$, где $A$ — его начальная точка, а $B$ — конечная точка.

На плоскости: если точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка $B$ имеет координаты $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$

В пространстве: если точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1, z_1)$, а точка $B$ имеет координаты $(x_2, y_2, z_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

Каждая координата вектора представляет собой его проекцию на соответствующую координатную ось. Например, величина $x_2 - x_1$ — это проекция вектора на ось абсцисс ($Ox$).

Частный случай: радиус-вектор

Если вектор отложен от начала координат (точки $O$ с координатами $(0, 0)$ на плоскости или $(0, 0, 0)$ в пространстве), то он называется радиус-вектором. В этом случае его координаты равны координатам его конечной точки. Если конечная точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B)$, то вектор $\vec{OB}$ имеет координаты:
$\vec{OB} = \{x_B - 0; y_B - 0\} = \{x_B; y_B\}$

Пример

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$ на плоскости, если его начальная точка $C(3, -5)$, а конечная точка $D(-2, 1)$.

Используем формулу для плоскости:
$\vec{CD} = \{x_D - x_C; y_D - y_C\} = \{-2 - 3; 1 - (-5)\} = \{-5; 6\}$

Ответ: Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2)$ его координаты на плоскости равны $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$.