Номер 10, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Какие векторы называются компланарными?

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Более строгое определение: векторы называются компланарными, если после приведения их к общему началу (то есть после параллельного переноса так, чтобы их начальные точки совпали) они все оказываются в одной и той же плоскости.

Сам термин «компланарность» происходит от латинских слов: com (вместе) и planum (плоскость), что дословно означает «находящиеся в одной плоскости».

Рассмотрим основные свойства и условия компланарности:

• Два вектора: Любые два вектора всегда компланарны. Через них всегда можно провести плоскость (если они не коллинеарны, то они задают плоскость; если коллинеарны, то лежат на одной прямой, через которую можно провести бесконечно много плоскостей).
• Три вектора: Это наиболее важный случай для проверки компланарности.
  • Геометрическое условие (критерий компланарности): Три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются компланарными тогда и только тогда, когда один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Например, для неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вектор $\vec{c}$ будет им компланарен, если существуют такие числа $x$ и $y$, что выполняется равенство:
    $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$
  • Алгебраическое условие (через координаты): Если три вектора заданы своими координатами в трехмерном пространстве: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ и $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$, то они компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
    $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$
    Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если объем равен нулю, значит, все три вектора лежат в одной плоскости.
• Частные случаи:
  • Если среди векторов есть нулевой вектор, то вся совокупность векторов является компланарной.
  • Если в наборе из трех векторов два являются коллинеарными, то все три вектора компланарны.

Ответ: Компланарными называются векторы, которые при приведении к общему началу лежат в одной плоскости.