Номер 4, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Какие свойства имеет действие сложения векторов?

Действие сложения векторов, как и сложение чисел, обладает рядом фундаментальных свойств. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы следующие законы:

1. Коммутативность (переместительный закон)

Сумма векторов не зависит от порядка слагаемых. Это означает, что если поменять местами векторы при сложении, результат останется прежним. Математически это свойство записывается так:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Геометрически это можно представить с помощью правила параллелограмма: диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, является их суммой независимо от того, какой вектор считать первым.

Ответ: Коммутативность: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

2. Ассоциативность (сочетательный закон)

При сложении трех и более векторов результат не зависит от того, как сгруппированы слагаемые. Можно сначала сложить первые два вектора, а затем к их сумме прибавить третий, или же сначала сложить второй и третий, а потом к этой сумме прибавить первый. Результат будет одинаковым.

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Это свойство позволяет говорить о сумме нескольких векторов, не указывая порядок выполнения сложения.

Ответ: Ассоциативность: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

3. Сложение с нулевым вектором

Существует такой вектор, который называется нулевым вектором (обозначается $\vec{0}$), прибавление которого к любому другому вектору не изменяет этот вектор. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают, а его длина равна нулю.

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Нулевой вектор является нейтральным элементом для операции сложения векторов.

Ответ: Существует нулевой вектор $\vec{0}$ такой, что для любого вектора $\vec{a}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

4. Существование противоположного вектора

Для каждого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор, обозначаемый $-\vec{a}$. Противоположный вектор имеет ту же длину (модуль), что и исходный, но направлен в противоположную сторону. Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору.

$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Это свойство позволяет ввести операцию вычитания векторов, так как вычитание вектора $\vec{b}$ из вектора $\vec{a}$ эквивалентно сложению вектора $\vec{a}$ с вектором, противоположным $\vec{b}$: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Ответ: Для любого вектора $\vec{a}$ существует противоположный вектор $-\vec{a}$ такой, что их сумма равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.