Номер 7, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Какие свойства имеет действие умножения вектора на число?

Действие умножения вектора на число, также известное как умножение на скаляр, обладает следующими основными свойствами. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — произвольные векторы, а $\alpha$ и $\beta$ — произвольные действительные числа (скаляры).

1. Сочетательное свойство (ассоциативность)

Это свойство гласит, что результат умножения вектора на произведение двух чисел не зависит от порядка, в котором выполняется умножение. Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $\alpha$ и $\beta$ справедливо равенство:

$$(\alpha \beta) \vec{a} = \alpha (\beta \vec{a})$$

Это означает, что можно сначала перемножить скаляры, а затем умножить результат на вектор, либо последовательно умножить вектор на каждый из скаляров.

Ответ: Сочетательное свойство: $(\alpha \beta) \vec{a} = \alpha (\beta \vec{a})$.

2. Распределительное свойство относительно сложения векторов (первый дистрибутивный закон)

При умножении числа на сумму векторов можно сначала сложить векторы, а потом умножить результат на число, либо умножить каждый вектор на это число и сложить полученные векторы. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого числа $\alpha$ справедливо равенство:

$$\alpha (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b}$$

Это свойство позволяет "раскрывать скобки" при умножении числа на сумму векторов.

Ответ: Распределительное свойство относительно сложения векторов: $\alpha (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b}$.

3. Распределительное свойство относительно сложения чисел (второй дистрибутивный закон)

При умножении суммы чисел на вектор можно сначала сложить числа, а потом умножить результат на вектор, либо умножить каждое число на вектор и сложить полученные векторы. Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $\alpha$ и $\beta$ справедливо равенство:

$$(\alpha + \beta) \vec{a} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{a}$$

Это свойство также позволяет "раскрывать скобки", когда на вектор умножается сумма чисел.

Ответ: Распределительное свойство относительно сложения чисел: $(\alpha + \beta) \vec{a} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{a}$.

4. Свойство умножения на единицу

Умножение любого вектора на число 1 не изменяет этот вектор. Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения вектора на число. Для любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство:

$$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$$

Ответ: Свойство умножения на единицу: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

5. Свойство умножения на ноль

Умножение любого вектора на число 0 дает в результате нулевой вектор ($\vec{0}$). Аналогично, умножение нулевого вектора на любое число также дает нулевой вектор. Для любого вектора $\vec{a}$ и любого числа $\alpha$ справедливы равенства:

$$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$$

$$\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}$$

Ответ: Свойство умножения на ноль: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}$.