Номер 6, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Как определяется действие умножения вектора на число?

Действие умножения вектора на число (также называемое умножением на скаляр) определяется как операция, результатом которой является новый вектор. Это определение можно сформулировать как с геометрической, так и с координатной точки зрения.

Геометрическое определение

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на ненулевое число $k$ называется вектор $\vec{b} = k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Модуль (длина): Модуль вектора $\vec{b}$ равен произведению модуля вектора $\vec{a}$ на модуль числа $k$. Математически это записывается как: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Это означает, что длина исходного вектора изменяется в $|k|$ раз.

2. Направление: - Если число $k > 0$ (положительное), то вектор $\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (т.е. имеет то же самое направление). Обозначается как $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$. - Если число $k < 0$ (отрицательное), то вектор $\vec{b}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{a}$. Обозначается как $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$.

В особых случаях, если $k = 0$ или если вектор $\vec{a}$ является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то их произведение равно нулевому вектору: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.

Координатное определение

Если вектор задан в координатной системе, то для его умножения на число необходимо каждую координату этого вектора умножить на данное число. Пусть в трехмерном пространстве вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$. Тогда его произведение на число $k$ есть вектор $k\vec{a}$ с координатами: $k\vec{a} = \{k \cdot a_x; k \cdot a_y; k \cdot a_z\}$

Аналогично для вектора на плоскости (в 2D) с координатами $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$: $k\vec{a} = \{k \cdot a_x; k \cdot a_y\}$

Этот способ вычисления полностью согласуется с геометрическим определением.

Ответ:

Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $k\vec{a}$, что:

1. Его модуль равен $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Его направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направлению $\vec{a}$ при $k < 0$.

3. Он является нулевым вектором ($\vec{0}$), если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$.

В координатах, если $\vec{a}=\{a_x; a_y; a_z\}$, то $k\vec{a}=\{ka_x; ka_y; ka_z\}$.